高中數(shù)學(xué)中的二次函數(shù)與不等式的應(yīng)用分析

范欽帥

摘要：該文中筆者介紹了二次函數(shù)的基本知識(shí)，探究了二次函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，并提出了二次函數(shù)在應(yīng)用過(guò)程中應(yīng)該注意的幾點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：二次函數(shù)；高中數(shù)學(xué)；應(yīng)用

最早接觸二次函數(shù)是在初中，受學(xué)習(xí)能力的限制，學(xué)生初步學(xué)習(xí)二次函數(shù)的掌握程度較低，不能將學(xué)到的理論充分運(yùn)用到高中知識(shí)里。高中數(shù)學(xué)階段二次函數(shù)極其重要，想要完全掌握并且運(yùn)用的爐火純青就必須從基礎(chǔ)一點(diǎn)點(diǎn)抓起，循序漸進(jìn)做到得心應(yīng)手。

1 二次函數(shù)的基本知識(shí)點(diǎn)

通常判斷一個(gè)函數(shù)是不是二次函數(shù)，首先觀察它的表達(dá)式，形如其中a不等于零。這個(gè)是它的一般表達(dá)式，另外常用的它還有頂點(diǎn)式跟交點(diǎn)式這兩種，比如f（x）=2（x-1）（x-4）這個(gè)是交點(diǎn)式，1跟4分別是函數(shù)跟x軸的兩個(gè)交點(diǎn)。

1.1 利用表達(dá)式透露出的知識(shí)點(diǎn)

函數(shù)表達(dá)式中的abc這三個(gè)參數(shù)決定了函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的曲線(xiàn)是拋物線(xiàn)，以x=-b/2a對(duì)稱(chēng)軸，以（-b/2a，（4ac-bb）/4a）為定點(diǎn)的坐標(biāo)，還可以根據(jù)函數(shù)二次項(xiàng)參數(shù)a的正負(fù)來(lái)判斷曲線(xiàn)的開(kāi)口方向，當(dāng)參數(shù)a為正數(shù)時(shí)向上參數(shù)a為負(fù)數(shù)時(shí)向下。函數(shù)的判別式為m=bb-4ac，通過(guò)判別式中m的符號(hào)斷定曲線(xiàn)跟橫軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，m為正時(shí)是兩個(gè)交點(diǎn)，m為負(fù)時(shí)是沒(méi)有交點(diǎn)，m為零時(shí)是一個(gè)交點(diǎn)，也就是兩個(gè)交點(diǎn)重合，曲線(xiàn)相切于橫軸。拋物線(xiàn)的這幾方面能夠有效地幫助學(xué)生學(xué)習(xí)二次函數(shù)，加深理解跟背誦。

1.2 二次函數(shù)的單調(diào)性

單調(diào)性的大體概念跟含義我們?cè)诔踔袛?shù)學(xué)中已經(jīng)接觸到了，但當(dāng)時(shí)并沒(méi)有經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的科學(xué)性的定義跟論證，高中數(shù)學(xué)二次函數(shù)的學(xué)習(xí)給單調(diào)性做出了一個(gè)有理論依據(jù)做基礎(chǔ)的解釋。二次函數(shù)的單調(diào)性是分兩部分的，這兩部分以?huà)佄锞€(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為界限，一邊單調(diào)遞增，而另一邊就會(huì)單調(diào)遞減。學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，對(duì)于自變量有范圍，判斷起來(lái)比較困難的分段函數(shù)，結(jié)合圖形分析給人以直觀性，是一種很好的方法。

1.3 二次函數(shù)的極值特性

已經(jīng)提到二次函數(shù)的圖像是拋物線(xiàn)，那么對(duì)于不限定自變量范圍的函數(shù)，對(duì)稱(chēng)軸處的函數(shù)值便是函數(shù)的最大值或者最小值。學(xué)生要把函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)熟記于心，這樣做起題來(lái)才能如魚(yú)得水。例如：假設(shè)二次函數(shù)f（x）=3xx-12x+10，它在[a，a+1]上存在最小值，并且是g（a）。要求：得出g（a）的表達(dá)式。

解析：f（x）=3xx-12x+10=3（x-2）（x-2）-2所以容易看出函數(shù)在自變量x的值是2時(shí)得到最小值-2。當(dāng)2在[a，a+1]這個(gè)區(qū)間內(nèi)時(shí)最小值g（a）為-2，此時(shí)a在[1，2]這個(gè)區(qū)間中；當(dāng)a大于2時(shí)，g（a）=f（a）=3aa-12a+10；當(dāng)a小于1時(shí)，g（a）=f（a+1）=3aa-6a+4。通過(guò)上面的分析計(jì)算得出結(jié)論。

想要正確得到這個(gè)題的結(jié)果，必須充分理解二次函數(shù)的極值問(wèn)題。二次函數(shù)一般情況下在自變量范圍不限制時(shí)肯定只有一個(gè)最大值或者肯定只有一個(gè)最小值，但伴隨著自變量定義域的改變，極值的情況也會(huì)發(fā)生改變。比如對(duì)稱(chēng)軸是x=2，自變量的定義域是[3-4]，那函數(shù)就在3處取得最小值，在4處取得最大值；倘若定義域是（2，5），那這個(gè)函數(shù)既沒(méi)有最大值有沒(méi)有最小值等等，不同的范圍對(duì)應(yīng)不同的情況，這樣的例子不勝枚舉。

2 二次函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用

2.1 與一元二次不等式接軌

中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，肯定接觸到了一元二次不等式的內(nèi)容。也就是根據(jù)一致的不等式求解范圍。第一步首先看判別式。第二步把不等式暫且看做等式，求解出變量值。第三步是依據(jù)二次項(xiàng)正負(fù)判斷開(kāi)口，畫(huà)出假想函數(shù)的大致圖像。最后看圖像找所要求的變量范圍。第三步中的畫(huà)圖識(shí)圖就是將二次函數(shù)的知識(shí)充分運(yùn)用到求解不等式當(dāng)中來(lái)，這一步是求解的關(guān)鍵。如果化簡(jiǎn)后的不等式是大于零，那么自變量的取值范圍就選取圖像上方的部分。如果化簡(jiǎn)后的不等式小于零，那么自變量的取值范圍就選取圖像下方的部分。另外要格外注意等于零的不為的選取與否，最后得到的不等式解集就是正確答案了。

2.2 與求函數(shù)的定義域、值域相融合

例如：已知函數(shù)y=lg（xx+2mx+2），求：如果函數(shù)的定義域是全部實(shí)數(shù)集，試得出m范圍；如果值域是全部實(shí)數(shù)集，試得出m范圍。

第一問(wèn)：?jiǎn)栴}等價(jià)于xx+2mx+2恒大于零，得出m大于負(fù)根號(hào)2小于正根號(hào)2。

第二問(wèn)：?jiǎn)栴}等價(jià)于xx+2mx+2大于零恒有解，得出m大于等于根號(hào)2或者m小于等于負(fù)根號(hào)2。

這樣的問(wèn)題最能迷惑學(xué)生的雙眼，將學(xué)生的思維搞混亂，追根究底關(guān)鍵還是沒(méi)能對(duì)所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行完全吸收。

2.3 結(jié)合映射跟函數(shù)

函數(shù)是一種映射，而二次函數(shù)作為函數(shù)的一種自然也屬于映射，只是情況比較特殊。二次函數(shù)是一個(gè)不空的定義域到不空的值域的映射，兩個(gè)之中的元素一一對(duì)應(yīng)，并且沒(méi)一個(gè)定義域中的元素只有一個(gè)值域中的元素相對(duì)應(yīng)，而值域中的元素可以有兩個(gè)定義域中的元素與之對(duì)應(yīng)。這樣在二次函數(shù)的作用下，學(xué)生更深刻、更深入地加深了對(duì)映射、對(duì)函數(shù)的理解，這種認(rèn)識(shí)的明確，對(duì)解決遇到的難題大有幫助。

3 為加深二次函數(shù)的應(yīng)用需注意幾點(diǎn)

作為老師，在講解二次函數(shù)時(shí)，要把基礎(chǔ)知識(shí)放在首要地位。即使是一個(gè)小概念也要充分理解它的含義，對(duì)于給出的公式定理，首先了解，深入理解，然后學(xué)生自己完成公式的推導(dǎo)，定理的演示，然后結(jié)合聯(lián)系進(jìn)行鞏固訓(xùn)練，熟記于心。

不建議死讀書(shū)、讀死書(shū)，要靈活記憶，靈活掌握每個(gè)要點(diǎn)。每堂課、每個(gè)小時(shí)分別給學(xué)生分配不同的任務(wù)，制定不同的學(xué)習(xí)目標(biāo)，學(xué)習(xí)目標(biāo)的明確能夠極大極高學(xué)生學(xué)習(xí)二次函數(shù)的效率。

高中二次函數(shù)的題型復(fù)雜，內(nèi)涵豐富，文章通過(guò)分析二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)引出了它在高中數(shù)學(xué)教學(xué)其它知識(shí)上的完美應(yīng)用，相信在更多的題目應(yīng)用中學(xué)生能夠更好的把握解題技巧。

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基金課題：

本文系2018年度河南省基礎(chǔ)教育教學(xué)研究項(xiàng)目《以?huà)佄锞€(xiàn)為例促進(jìn)高中學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)延伸拓展的研究》（JCJYC18030333）研究成果”