《導數的概念》教學設計與反思

黃志橋

[摘 要]以《導數的概念》一課為例，著重從問題導學五環節設計教學，強化設計理念以及檢驗課堂教學是否達到設計理念.

[關鍵詞]導數的概念；教學設計；問題導學

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 1674-6058（2018）32-0027-02

【教學內容】數學選修2-2第一章第1.1節第1.1.2小節《導數的概念》.

【教學流程】（新課引入）數學史→導數的概念（課題）→高臺跳水視頻→（概念形成）瞬時速度→用平均速度表示瞬時速度（數形結合）→求出 t = 2s時的瞬時速度→推廣求出t0的瞬時速度→瞬時變化率→導數的概念→（概念深化）導數的概念→（應用探索）例1、例2→（回應引入）求出t=3s時的瞬時變化率→（總結歸納 ） 結束課堂.

【教學設計】

南寧三中黃河清校長曾說過：“實施‘問題導學的一個很重要的原則是‘設立標準，執行標準.” 即在課堂教學的幾個主要環節中，每個環節重點解決什么問題，教師要有標準，如“新課引入”抓關聯性；“概念形成”抓合理性；“概念深化”抓內涵和外延；“應用探索”抓層次性；“總結歸納”抓知識建構.

圍繞此標準設置問題，教師就有明確的教學思路和創造的空間，同時也能使學生的思考更有針對性.為此，本節課著重從問題導學的五個環節進行教學設計.

1. “新課引入”抓關聯性

新課引入：“20世紀杰出的數學家馮諾依曼曾說：‘微積分是近代數學中最偉大的成就，對它的重要性無論做怎樣的評價都不過分.這節課我們就來學習微積分最基礎的知識——導數.” 從而引出本節課的課題——導數的概念.

通過數學史的知識滲透，讓學生了解“導數”的數學史.接下來，播放“2017年國際泳聯世錦賽高臺跳水” 視頻，讓學生通過觀看視頻了解高臺跳水項目的兩大特性：“挑戰性”和“冒險性” .

挑戰性：（1）高：跳臺27米；（2）快：整個過程速度越來越快，入水瞬間速度最快；（3）巧：手尖先入水，豎直入水.

冒險性：入水速度非常快，相當于時速70～100公里，所以運動員入水前的速度與安全有非常緊密的聯系.

為了保證高臺跳水運動項目的安全性，知道運動員在任意時刻的速度是很有必要的.因為上一節課已經知道了用平均速度描述運動員的運動狀態是有一定的局限性的.因此，教師可根據高臺跳水的背景，自然引入瞬時速度.

課堂上，此環節基本上能體現教學的設計意圖，在播放高臺跳水視頻的過程中，能把學生都吸引到課堂上來，同時也激起了學生的學習興趣.

2.“概念形成”抓合理性

“平均速度→瞬時速度”：引導學生以已知探究未知，讓學生初步感受“無限”“ 逼近”的思想.

通過數形結合，在圖像上不斷縮小[t]與[t0]的距離，學生能從中感受到平均速度與瞬時速度的關系，但是此時還是沒有數的出現，學生雖感到[t=2s]時的瞬時速度就要求出來了，可是還是沒法求出.對此，學生產生焦慮情緒，也激起了探索的欲望.此時，教師可引出著名數學家華羅庚先生的經典詩句：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微，數形結合百般好，隔家分離萬事休.”以啟發學生運用數形結合思想解決問題.同時給予學生充分的思考時間.

“瞬時速度→瞬時變化率”：引導學生感悟數學研究方法，利用類比思想得出函數[y=f（x）]在[x=x0]處的瞬時變化率.

通過前面的學習，我們知道平均速度就是函數[h（t）]的平均變化率.瞬時速度就是函數[h（t）]的瞬時變化率.平均速度在[Δt→0]時的極限就是瞬時速度.追問學生：“能否說說，一般情況下，函數的平均變化率與瞬時變化率是怎樣的關系？”學生自然而然地得出瞬時變化率.至此，本節課的教學難點得以突破，剩下的就是如何把瞬時變化率和導數結合起來.

這里的“瞬時變化率”其實就是我們所要研究的“導數”.

一般的，函數[y=f（x）]在[x=x0]處的瞬時變化率是[limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f（x0+Δx）-f（x0）Δx]，我們稱它為函數[y=f（x）]在[x=x0]處的導數，記作[f ′（x0）]或[y′|x=x0]，即[f ′（x0）=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f（x0+Δx）-f（x0）Δx] .

3. “概念深化”抓內涵和外延

“概念深化抓內涵和外延”是本節課的靈魂，直接影響學生能否以更高階的思維去看問題、想問題.本環節內容“導數”的式子的關鍵理解可運用文字語言、符號語言和圖形語言來進行描述.

教師可以問題“函數[y=f（x）]在[x=x0]處的導數[f ′（x）]由哪些量來構成？”引導學生對[f ′（x）]式子的結構進行思考.

首先我們來看它的結構：這個式子的左邊為[limΔx→0]，右邊為分式[ΔyΔx]（平均變化率），我們一個個來分析每個量所表達的意思.

（1）“lim”是極限（limit）的縮寫，“[limΔx→0]”是極限符號.

（2）“[x0+Δx]”是[x0]附近的任意一個值.

（3）“[ΔyΔx]”是函數[y=f（x）]在[x=x0]附近的平均變化率.

（4）“[Δx=（x0+Δx）-x0]”是自變量的增量，是任意的，可正可負，但不能是0；“[Δy=f（x0+Δx）-f（x0）]”為對應函數值的增量.

（5）[x=x0]時，[f（x0）]是一個確定的數.

（6）用[f（x0）]表示函數[y=f（x）]在[x=x0]處的導數，反映了函數在[x=x0]處變化的快慢.

通過以上分析，學生基本弄清導數是什么.在這個基礎上可進一步強化導數的求解步驟.

第一步，確定[x0]附近的任意一個值，一般用“[x0+Δx]”表示.

第二步，求函數的增量[Δy=f（x0+Δx）-f（x0）].

第三步，化簡函數值的增量[Δy]與自變量的增量[Δx]的比值.如：

[ΔyΔx=f（x0+Δx）-f（x0）Δx] .

第四步，在第二步的化簡結果中在[Δx→0]取極限，計算結果.

4.“應用探索”抓層次性

教學例1、例2，其中例1強化學生對導數在某點處的求解，例2回應本節課的引入，使學生能夠熟悉導數的定義，進一步鞏固導數的計算方法.

5.“總結歸納”抓知識建構

本節課由于前面四個環節用時比較多，故“總結歸納”環節這部分的學習時間有限，基本上是蜻蜓點水式地小結，沒能為后續的學習（導數的幾何意義）做鋪墊.很是遺憾.在“總結歸納”環節理應主抓學生的知識建構.

本節課的教學還有很多需要改進的地方，后續還要進一步地研究.

（特約編輯 安 平）