淺談多元函數極值的應用

張芳

[摘要]文章主要運用了多元函數極值的判定方法去解決在實際生活中利潤最大化、效用最大化以及物理學方面的問題。

[關鍵詞]多元函數;極值;判定方法;應用

一、利潤最大化問題應用

多元函數極值在經濟學利益最大化問題中應用較為廣泛，對于企業單位來講，借助多元函數的極值可以快速得到利潤最大化途徑，對于實際行為具有一定的指導意義。

例1：某企業在對商品進行廣告宣傳中，可以采取傳統媒體報紙和現代媒體電視兩種途徑，通過單位以往的廣告經驗，對于這兩種廣告途徑所獲得的利潤關系為：

x1為電視廣告費用支出，X2為報紙廣告費用支出，Z為企業商品銷售的總收入（單位為萬元）。根據廣告與收益的關系，求出最佳的廣告方式，使得企業的收益最大化。

解：企業收益值為商品銷售值與廣告投入費用值，設企業的最大利潤為：

由于該函數的駐點矩陣為負矩陣，由此可得利潤函數在駐點位置的值為最大值，也就是該企業廣告策略的利潤最大化，即電視廣告費用為1/6萬元，報紙廣告費用為35/12萬元，這樣可以獲得最大利潤點。

企業單位借助于多元函數的極值可以很好地解決利潤最大化的問題，通過極值的運用，企業不僅可以在支付和收入之間尋找一個均衡點以獲取利潤的最大化，還可以在限定的預算支出情況下找到費用支出的最佳點，實現資金資源的最佳利用和資源最優配置，這對于企業追求利潤最大化來講，多元函數極值的應用起到了很大的作用。

二、效用最大化問題

在經濟學中，經常會涉及效用最大化問題，在解決該種類型的問題中，通常借助拉格朗日乘數法來對此問題進行解答。消費者在生活消費中，所追求的就是效用最大化，即對所購商品的滿意程度的最大化。

例2：設消費者的效用函數u= U（x1，X2），預算約束條件為I= P1x1+ P2X2，則相應的拉格朗日乘數函數為：

式中λ為拉格朗日乘數，x1為消費者所購買物品的單價，X2為消費者所購物品的件數，求效用最大化的條件。

解：容易得到效用最大化的一階條件為

由一階條件中的前兩個式子可得

，式中可以表示商品的邊際替代率。

所以，效用最大化的必要條件為：兩個商品的邊際替代率等于兩個商品的價格之比。由一階條件中的前兩個式子可得，式中拉格朗日乘數表示貨幣的邊際效用。效用最大化的必要條件也可以表述為：消費者花費在各個商品上的最后一元錢所帶來的邊際效用都相等，且等于貨幣的邊際效用。

在經濟學中，通過對多元函數極值的應用，可以很好地將其運用到商品經濟的消費中來，這樣消費者可以借助于多元函數的極值問題找到一定的消費預算和效用的平衡點，幫助消費者選擇性價比最佳的商品，達到消費者滿意程度的最大化。

本文通過實際案例的方式研究了多元函數在不同領域的實際應用，借助多元函數極值的應用，對于企業利潤最大化、消費者效用最大化以及生活實際問題等進行了解決，這對于各個領域都起到了一定的擇優選配的作用，有效地實現了資源的合理利用和優化配置。現在，全世界都面臨著資源缺乏的問題，如何使能源的分配和使用更加合理已經成為人們迫切需要解決的問題，而數學作為解決這些問題的工具必將發揮其作用。

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