初中數學問題解決的要素分解策略

【摘要】數學問題解決就是將問題分解成基本要素，再根據每個知識點對應的基本模型策略解決問題；幾何問題解決就是將綜合圖形分解成各個基本圖，不完整的基本圖形補全，就是添輔助線。運用要素分解策略，可以解決復雜問題。

【關鍵詞】初中數學；問題解決；要素分解策略

數學問題好比一部機器，機器的基本組成部分是零件，數學問題的組成部分就是數學基本要素。數學問題解決就是將問題分解成基本要素，再根據每個知識點對應的基本模型策略解決問題。

一、數學問題的基本結構

數學題的基本結構是條件（初始狀態）和結論（目標狀態）。問題的實質就是初始狀態到目標狀態的障礙。一般來說，問題目標和限制條件是明確給出的，問題各個部分的相互關系是隱含的，可以借助給定的限制條件和目標推導出來。問題目標起著定向作用，它始終引導思維朝一個方向推進。怎樣從起始狀態到目標狀態反復調整過程，就是思維不斷轉化的過程。例如浙教版數學七年級上6.1節例1：“測得某班20名同學的身高數據（略），可對數據作怎樣的整理？”本例中問題的基本形式為“給定”：生活中的數據；“目標”：對數據進行整理；“障礙”：從哪些方面整理？為了克服障礙，本例設計三個中介問題：數據用什么方法得到的？怎樣整理這些數據？整理后得出什么結論？這些中介問題將學生已有經驗與本題情景建立聯系，從而找到解決方法。

通常，問題正確解決方法不是直接顯而易見的，必須通過一定的思維活動，克服障礙，才能達到目標狀態。為了克服障礙，需要應用數學概念、理論、方法溝通條件與結論之間的聯系。如《九章算術》中的“圓材埋壁”：“今有圓材，埋壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”題中“給定”：圓，深（垂直）一寸，鋸道長一尺；“目標”：徑幾何。克服障礙的思路過程是：由圓中直徑、垂直弦相關元素聯想到垂徑定理，由垂徑定理自然聯想到基本圖形，通常連接半徑，構造直角三角形。

二、問題解決的路徑探究

解決問題的思維實質就是克服障礙，尋找已知到結論的路徑，從已知出發，去發現隱蔽、待解的結論，尋找已知條件知識與結論知識的邏輯關系或轉化軌跡，利用問題所包含的信息要素和已儲存的信息要素主動構建，然后聯想和搜索跟這些要素（條件信息和目標信息）有關聯的算子（模型），選擇與相關要素匹配的算式，使得問題接近目標狀態得到路徑。由一個步驟推進到另一個步驟時，其實就是知識之間的聯系與生成，在這個過程中，我們要激活、檢索、提取和組織已有數學知識和經驗。

例1：某種商品按50元一個售出時，能賣出500個。已知這時商品每漲價一元，其銷售數就要減少20個。為了獲得總額50000元，單價應定為多少？

根據問題的條件信息，學生會聯想到總價、數量和單價的有關知識，搜索跟單價、數量和總數相關的問題模型，發現“已知單價和數量，求總數”的算式：總量=單價×總數。于是原問題表述成為：總額50000元=單價（50+與漲價有關）元×總數（500-與漲價有關）個。這樣，問題的關鍵轉化到“漲價”。

問題解決是一種有目的的復雜的思維活動，包含解決常規性問題和解決創造性問題。傳統發展學生思維能力，通常是通過解決結構良好的問題來實現的。我國平面幾何課程以培養學生幾何邏輯思維能力為目的，主要是讓學生熟練掌握幾何證明“已知-求證/求”的形式。現實生活中人們所遇到的問題通常和具體情境相聯系，但往往結構不良（現實世界里，智力表現是以解決結構不良問題來衡量的），初始狀態與目標狀態的信息不明確，也沒有明確的解決方法和途徑，沒有明確的已知和確定的目標，不知道用哪些概念、規則和原理來解決問題，需要在各種信息中做出選擇和建立起可能的關系。解決這類問題是不斷地進行探索性推理、創建、驗證、表達和優化的過程，也是有效地模擬科學探究的問題解決推理過程。要重視對傳統課程內容和結構良好的證明問題的改造，突出課程內容與具體情境的聯系，讓學生在結構不良問題情境中開展推理活動，走出狹義的“技術演練”。

以下是結構不良問題的路徑探索過程案例：

例2：市政府規劃在兩年后實現市財政凈收入翻一番，那么這兩年中財政凈收入應爭取多少平均年增長率才有可能實現目標？

初看問題信息中沒有明確的條件和結論，問題中沒有一點數學的標志，需要在信息中找出關鍵要素和建立起可能的關系.“兩年后、實現、市財政凈收入、翻一番、多少平均年增長率”，這里“兩年后的收入”是一個要素，用增長率的二次表示；“多少平均年增長率”是要求的，設成未知數；“實現”就是要建立等量關系；而“市財政凈收入”原來是不知道的，所以還要設元，用來表示；而“翻一番”應該是一個結果狀態，是2倍的意思。根據方程的基本模型：當前收入“過兩年后的收入”=當前收入“翻一番”，那么過兩年后的收入表示出來就是，翻一番表示出來，這樣就建立關系式：。

例3：已知方程無解，求證：。

證明：

。

分析：如圖1。

評析：這個問題中，條件與結論沒有直接的關系，甚至不知道用哪些概念、規則來建立聯系，需要對知識要素“”進行分解、剖析和聯想，探索建立知識之間的關聯，因此這個問題是一

個路徑復雜綜合性強的問題。

學生要學會問題解決的路徑探究：在模仿基礎上進行變式練習；在主動實踐過程中，自發領悟（解題知識與方法的內化和系統化過程）；嘗試自覺分析解決問題。經歷后面兩步，學生對認知結構產生改變，獲得能力的增長。數學題本身的思維挑戰性以及學生從中產生的成就感和樂趣促動學生去嘗試以上步驟。

三、綜合問題解決

數量關系比較復雜、隱蔽的綜合問題，涉及多個數學知識點圖式和多方面數學方法、數學思想，靈活性與綜合性強。針對這樣的問題，首先要明確：它涉及什么內容？根據題中所提供的要素，可以分析問題所涉及的內容：是幾何問題還是代數問題；幾何問題的話是圓還是三角形的內容；三角形的話是直角三角形還是等腰三角形方面的知識要素；直角三角形的話是關于勾股定理的知識要素還是關于斜中線的知識要素。這個勾股定理或者斜中線是數學中的基本要素，它對應基本模型。解決綜合問題最終通過分解轉化為基本要素（基本模型）來解決.endprint

例4：已知矩形長為，寬為，邊上有一點，，求：滿足什么條件時：（1）存在1個點；（2）存在2個點；（3）不存在點。

評析：問題條件中矩形、直角三角形的基本要素是勾股定理（或者三垂形相似），到此還沒有與結論目標聯系，目標是要根據關系得到點的個數。“存在1個點；存在2個點；不存在點”這個知識要素是根的判別式的特征要素（也是圓與直線位置關系的特征要素，所以本題也可以用圓半徑與距離的關系求解），而要有判別式則需要有一元二次方程，而方程則需要設未知數和找等量關系，于是根據勾股定理（相似）得到關系式，這樣問題目標與結論才能聯通。設，由，得到方程，化簡得，。根據判斷的情況。

四、添輔助線就是將基本圖補全

幾何綜合問題的圖好比一個復雜的機器，它是由基本零件組成，這個基本零件就相當于基本圖對應基本圖的特征要素，發現基本圖的要素不完整，把它添補完整，這就是添輔助線。所以解決問題的時候要把機器的零件拆下來修補，即找出初始條件要素指向的基本圖，補上輔助線，使基本圖完整。

例5：已知，如圖2，是半圓的直徑，與半圓相切于，，，垂足分別為、、。求證：。

基本圖形（一） 基本圖形（二） 基本圖形（三） 基本圖形（四）

分析：由于是半圓的直徑，所以就有半圓上圓周角的基本圖形的性質。現在圖形中有半圓上的點而沒有圓周角，所以應將圓周角添完整。連接、，得到，得到基本圖形（一）。本題要證明的結論，且已知，所以、這兩條相等的線段就成為點到兩邊的距離，而點到兩邊距離相等，就說明點在的平分線上，得到基本圖形（二）。因此就可應用軸對稱型的全等三角形性質進行證明，證明△和△全等，由，，根據全等的要素，還應證明一個條件。已知與半圓相切于，為半圓內接弦，根據弦切角的要素，得到基本圖（三），可得。這樣，要證明這兩個三角形全等就只要證。由于和，所以應用直角三角形斜邊上的高，如基本圖形（四），就可以得到，從而證明，同理證明。

圖2中，根據要素的有關性質將綜合圖形分解為四個基本圖形（基本圖形不完整的，添線變成完整的基本圖形），再根據基本圖形的性質得到證明。

【參考文獻】

[1]羅增儒.中學數學解題的理論與實踐[M].南寧：廣西教育出版社，2008：74.

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