商榷幾道全國高中數學聯賽試題及其解答

題1（2016年全國高中數學聯賽江西省預賽試題第1題）若函數y=log2016（x2-ax+65）的值域為R+，那么a的取值范圍是.

參考答案（-16，16）.由題意可知，要使函數y=log2016（x2-ax+65）的值域為R+，只需x2-ax+65>1，即x2-ax+64>0，所以Δ=a2-4×64<0，即a∈（-16，16）.

剖析當a=0時（可得0∈（-16，16）），y=log2016（x2+65）的值域是[log201665，+∞），不滿足題設，說明以上答案不對.

應當這樣求解：

可得二次函數u=x2-ax+65的判別式Δ=a2-260.

當Δ≥0即a≤-260或a≥260時，開口向上的拋物線u=x2-ax+65與x軸有公共點，從而可得對數log2016（x2-ax+65）中的真數x2-ax+65的取值范圍是（0，+∞），所以函數y=log2016（x2-ax+65）的值域是R，此時不滿足題設.

當Δ<0即-260

所以所求a的取值范圍是.

建議把原題修改為：

修改1若函數y=log2016（x2-ax+65）的值域是R，則a的取值范圍是 .

（答案：（-∞，-260）∪（260，+∞）.）

修改2是否存在實數a，使得函數y=log2016（x2-ax+65）的值域是[0，+∞）？答： .

解否.由前面的分析，可得

-260

log201665-a24=0，即a∈.

修正3若函數y=log2016（x2-ax+65）的值域是R+的某個子集，則a的取值范圍是 .

解（-260，260）.由前面的分析，可得-260

log201665-a24>0，即a∈（-260，260）.

題2（2011年全國高中數學聯賽一試B卷第5題）若△ABC的角A、C滿足5（cosA+cosC）+4（cosAcosC+1）=0，則tanA2·tanC2= .

參考答案3.由萬能公式，可得

cosA=1-tan2A21+tan2A2，cosC=1-tan2C21+tan2C2.

把它們代入題設后化簡，可得tanA2·tanC22=9.

又因為A2，C2都是銳角，所以tanA2·tanC2=3.

剖析下面用兩種方法說明題2是道錯題：

法1由A、C∈（0，π），可得cosA、cosC∈（-1，1），|cosA|<1，|cosC|<1，|cosAcosC|<1，cosAcosC+1>0.

再由題設中的等式，得cosA+cosC<0，cosAπ-C，A+C>π.

而由三角形內角和定理可知，A+C<π，所以原題是道錯題.

法2由A+C2是銳角，得cosA+C2=cosA2cosC2-sinA2sinC2>0，tanA2tanC2<1.

而這與原解法得到的結論tanA2·tanC2=3矛盾！所以滿足題設的△ABC不存在.

題3（1）（2011年全國高中數學聯賽貴州省預賽第8題）定義在R上的函數f（x）滿足f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，fx3=12f（x），且當0≤x1

A.12B.116 C.132 D.164

參考答案（1）1128.在f（x）+f（1-x）=1中：令x=0，可得f（1）=1，f13=12；再令x=13，可得f23=12.

因為當0≤x1

由fx3=12f（x）即f（x）=12f（3x），可得

f12011=12f32011=122f322011=123f332011

=…=126f362011.

又由13≤362011≤23，可得f362011=12，所以f12011=126·12=1128.

（2）C.在f（x）+f（1-x）=1中：令x=0，可得f（1）=1，f15=12；再令x=15，可得f45=12.

因為當0≤x1

由fx5=12f（x）即f（x）=12f（5x），可得

f12007=12f52007=122f522007=123f532007

=124f542007，

又由15≤542007≤45，可得f542007=12，所以f12007=124·12=132.

剖析題3的兩道小題如出一轍，且題設中的“f（0）=0”均是多余的：因為在題設中的第三個等式（分別是fx3=12f（x），fx5=12f（x））中令x=0均可得到f（0）=0.

并且筆者還發現題3的兩道小題均是錯題——滿足題設的函數均不存在：