從一道高考題的探究看高三數學復習策略

朱永廠++錢軍先

1問題提出

圖1高三數學一輪復習課上，筆者向學生展示了2017年高考數學江蘇卷第12題：“如圖1，在同一個平面內，向量OA，OB，OC的模分別為1，1，2，OA與OC的夾角為α，且tanα=7，OB與OC的夾角為45°.若OC=mOA+nOB（m，n∈R）， 則m+n=.”

這是一道以平面向量基本定理為背景，以向量分解和向量加法的法則為工具，以化歸思想、函數與方程思想、數形結合思想為依托的既源于課本又高于課本的試題，本題的立意深、入口寬、方法廣，具有較高的研究價值.本文旨在通過學生對問題解法的探究、理解和感悟來探尋高三數學高效課堂之道，以期拋磚引玉.

2解法探究

對問題解法進行多角度的探究，運用一題多解的方法，能夠有效地幫助學生自主構建平面向量的認知網絡，獲得解決問題的一般方法，找到向量與其他知識的內在聯系，揭示出問題的本質，比較出各種不同解法的優劣，將數與形完美地結合，使一個陌生的、復雜的問題轉化成熟悉的、易于解決的問題來處理，從而有效地訓練學生的思維品質，提高學生分析問題和解決問題的能力，提升學生的數學核心素養.

圖22.1從形的視角入手

課堂上，第一學習小組首先從形的角度進行了探究，借助向量加法的三角形法則和解三角形中的正弦定理，獲得了常規解法，由組長學生1展示.

解法1如圖2，過點C作直線OA的平行線交OB的延長線于D，則有OC=OD+DC，由tanα=7得sinα=7210，cosα=210，

在△OCD中，有sinD=sinπ4+α=sinπ4cosα+cosπ4sinα=22·210+22·7210=45，

由正弦定理，得OD7210=CD22=245，解得CD=54，OD=74，再由DC=mOA，OD=nOB得m=54，n=74.所以m+n=3.

這時，第二小組的學生2也站了起來說，上面的方法是利用平面向量基本……