一道高考題的解法、背景與推廣探究

鄒生書

2017年高考上海數學卷第12題是一道能力型試題，題目背景深厚設問精巧，重點考查數學語言的閱讀理解能力、化歸轉化能力以及分析問題和解決問題的能力.下面是筆者對這道試題的解法、背景和問題拓展探究的思維歷程，希望對讀者有所裨益.

題目如圖1，用35個單位正方形拼成一個矩形，點P1，P2，P3，P4 以及四個標記為“Δ ”的點在正方形頂點處，設集合Ω={P1，P2，P3，P4}，點P∈Ω，過P作直線lP，使得不在lP上的“Δ ”上的點分布在lP的兩側.用D1（lP），D2（lP）分別表示lP一側和另一側的“Δ ”上的點到lP的距離之和.若過P的直線lP中有且只有一條滿足D1（lP）=D2（lP），則Ω中所有滿足這樣的點P為.

圖11坐標法，幾何問題代數化

分析本題表達較長，數與形結合，抽象符號與文字語言相融，對閱讀理解能力、化歸轉化能力以及分析問題和解決問題能力的要求較高，是一道能力立意壓軸的試題.

解決問題的突破口在哪里？由點到直線的距離之和及正方形網格等信息，容易想到用坐標法求解.坐標法關鍵是建立合適的坐標系，由題設網格知關鍵是選擇坐標原點的位置.本題宜用一般化思想處理，以四點中某個點P為坐標原點建立直角坐標系，解法如下.

解法1以點P為坐標原點，以經過點P的單位正方形的邊所在直線分別為坐標軸建立平面直角坐標系.

當直線lP垂直x軸時，經檢驗知當且僅當點P與P2重合時滿足D1（lP）=D2（lP）.

當直線lP不垂直于x軸時斜率存在，設其方程為y=kx，設直線lP兩側分別有m個點（xi，yi）（i=1，2，…，m）和n個點（aj，bj）（j=1，2，…，n），且m+n=4.依題意得

kx1-y11+k2+…+kxm-ym1+k2=ka1-b11+k2+…+kan-bn1+k2.

至此，通過坐標法由點到直線距離公式將抽象的距離等式D1（lP）=D2（lP）變成了代數等式，去分母得kx1-y1+…+kxm-ym=ka1-b1+…+kan-bn.