有關選修23《獨立性檢驗》結論解釋的商榷

【摘要】針對選修23《獨立性檢驗》中有關χ2統計量計算結果解釋的若干問題進行了探討，給出一個在教學中較為恰當的解釋方式，有助于學生對于獨立性檢驗有較為全面的認識.

【關鍵詞】χ2統計量；獨立性檢驗；統計推斷

在人民教育出版社編寫的普通高中課程標準實驗教科書《數學》B版選修23中的《獨立性檢驗》一章中，對于統計檢驗結果的描述有若干需要商榷的地方.

1.在教科書中有如下描述（P78）：

經過對χ2統計量分布的研究，已經得到了兩個臨界值：3.841與6.635.當根據具體的數據算出的χ2>3.841時，有95%的把握說A與B有關；當χ2>6.635時，有99%的把握說事件A與B有關.當χ2≤3.841時，認為事件A與B是無關的.

2.我們有95%（或99%）的把握說事件A與B有關，是指推斷犯錯誤的可能性為5%（或1%），這也常常說成是“以95%（或99%）的概率”，其含義是一樣的.

我們說，高中教科書中所介紹的獨立性檢驗的思想，相當于運用統計學的知識發現，在假設事件A與B獨立的前提下，所得樣本的χ2>3.841的概率為5%，χ2>6.635的概率為1%，即P（χ2>6.635）|P（AB）=P（A）P（B））=0.05，P（χ2>3.841）|P（AB）=P（A）P（B））=0.01. 從而我們現有的樣本χ2統計量大于臨界值，則說明一個小概率事件發生了，于是我們認為，很有可能是我們的假設有誤，即A，B很可能不獨立. 需要注意的是，這里的5%（1%）不是我們推斷犯錯誤的概率.

教科書提到的，所謂推斷犯錯誤的概率，應當是對于一個χ2>3.841的樣本，如果我們下一個推斷：A與B不獨立，那么，我們犯錯誤的概率（即A，B其實是獨立），即P（P（AB）=P（A）P（B）|χ2>3.841|）. 顯然，從條件概率的角度，這與之前計算的5%或者1%是不同的.我們只能說，針對1%的情況，我們推斷犯錯誤的概率比5%的情況要小……