用對稱性求解圓錐曲線高考題

孔湛琦

對稱性是圓錐曲線的重要性質，許多圓錐曲線問題，特別是高考中的圓錐曲線問題常與對稱性有關.用好圓錐曲線的對稱性往往能使問題化難為易，事半功倍.

圖1例1（2012年福建理）如圖1，橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左焦點為F1，右焦點為F2，離心率e=12.過F1的直線交橢圓于A，B兩點，且△ABF2的周長為8.

（Ⅰ）求橢圓E的方程；

（Ⅱ）設動直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P，且與直線x=4相交于點Q.試探究：在坐標平面內是否存在定點M，使得以PQ為直徑的圓恒過點M？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由.

分析直線l含有m，k兩個參數，直線l與橢圓E有且只有一個公共點，m，k兩個參數可以轉換為1個參數.因為M為未知，加上點M（x1，y1）的兩個參數就變成3個參數了，這樣就給下一步的求解帶來很大困難.大家知道橢圓E與直線x=4都是關于x軸對稱的，滿足條件的點M若存在一定在軸上，即M（x1，0）.這樣3個參數就變成兩個參數，問題也就容易解決了.這里巧妙地運用了圖形的對稱性，簡化了運算，收到了很好的效果.

解（Ⅰ）橢圓E：x24+y23=1，解題過程略.

（Ⅱ）由y=kx+m，

x24+y23=1，消去y得（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0，因為動直線l與橢圓E有且只有一個公共點P（x0，y0），所以m≠0且Δ=64k2m2-4（4k2+3）（4m2-12）=0，

化簡得4k2-m2+3=0（*）.

此時x0=-4km4k2+3=-4km，y=kx0+m=3m，所以P（-4km，3m）.

由y=kx+m，

x=4，得Q（4，4k+m）.

橢圓E與直線x=4都是關于x軸對稱的，滿足條件的點M若存在，M點一定在軸上，即M（x1，0），則MP·MQ=0對滿足（*）式的m，k恒成立.

因為MP=（-4km-x1，3m），MQ=（4-x1，4k+m），由MP·MQ=0得，

-16km+4kx1m-4x1+x21+12km+3=0，整理得4（x1-1）km+x21-4x1+3=0（**）.

由于（**）式對（*）式的m，k恒成立，

所以4x1-4=0，

x21-4x1+3=0，解得x1=1.

故存在定點M（1，0），使得以PQ為直徑的圓恒過點M.

圖2例2（2015年四川理）如圖2，橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率是22，過點P（0，1）的動直線l與橢圓相交于A，B兩點，當直線l平行于x軸時，直線l被橢圓E截得的線段長為22.

（Ⅰ）求橢圓E的方程；

（Ⅱ）在……