一類過定點的函數族的試題命制與分析

1試題內容

已知函數f（x）=x2-x，g（x）=ex-ax-1.

（Ⅰ）討論函數g（x）的單調性；

（Ⅱ）當x>0時，f（x）≤g（x）恒成立，求實數a的取值范圍.

2考查目標

本小題主要考查函數的單調性、導數及其應用、不等式等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力等，考查函數與方程思想、化歸與轉化思想、分類與整合思想、有限與無限思想等.

3命制過程

命題者構造了過定點（0，0）的函數族g（x）=ex-ax-1.隨著實數a取值范圍的變化，函數g（x）的單調性、極值都發生變化.

當a≤0時，函數g（x）在區間R單調遞增（如圖1）；

當a>0時，函數g（x）在區間（-∞，lna）上單調遞減，在區間（lna，+∞）上單調遞增（如圖2）.

圖1圖2于是命題者設置了問題（Ⅰ）：討論函數g（x）的單調性.

為了增加試題難度，命題者考慮引入新函數，于是構造了過點（0，0）的函數f（x）=x2-x.

由于動函數g（x）與定函數f（x）相交于點（0，0）.于是考慮比較f（x）與g（x）在定點（0，0）兩側函數值的大小.為減小試題的難度，命題者只研究兩個函數在定點右側的情況，即研究x>0時，兩函數值的大小關系.

如圖3，當a≤0時，函數f（x）的圖像恒在函數g（x）圖像的下方.

如圖4，當0

如圖5，當a>e-1時，函數f（x），g（x）的圖像在y軸右側有異于點（0，0）的又一交點（p，q）.當0p時，函數f（x）的圖像在函數g（x）圖像的下方.

圖3圖4圖5根據上述分析，命題者設置了問題（Ⅱ）：當x>0時，f（x）≤g（x）恒成立，求實數a的取值范圍.

4解題思路

第（Ⅰ）步的求解：首先求出g（x）的導函數g′（x）=ex-a，然后根據a的不同取值，討論g′（x）的零點及其符號，從而判斷函數g（x）的單調性.

第（Ⅱ）步的求解：首先對含參不等式進行變量分離得a≤exx-x-1x+1，從而把問題轉化為求解函數h（x）=exx-x-1x+1（x>0）的最小值問題，然后用導數研究h（x）的最小值.

5試題詳解

（Ⅰ）g′（x）=ex-a.

（1）當a≤0時，g′（x）>0，g（x）在（-∞，+∞）單調遞增.

（2）當a>0時，當x∈（-∞，lna）時，g′（x）<0，g（x）單調遞減；

當x∈……