用“兩邊夾”解題的若干操作策略

王紅權(quán)

“兩邊夾”原理本是高等數(shù)學(xué)中用來判定極限存在的準(zhǔn)則，近年在數(shù)學(xué)競(jìng)賽和高考中時(shí)有應(yīng)用，需要學(xué)生有敏銳的觀察力和嫻熟的代數(shù)變形技巧.從解題操作的視角看，應(yīng)用“兩邊夾”原理有兩種類型：①“若a≤x≤a，則x=a”，該類型結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)明，邏輯清晰，操作有序；②“已知a≤f（x）≤b，求參變量k的取值范圍”.本文稱第一種為“夾死”，即由不等式a≤x≤a，得到等式x=a，是解決“條件為不等式，結(jié)論為等式”問題的利器；本文稱第二種為“夾縫”，不等式a≤f（x）≤b說明函數(shù)f（x）可以在“縫隙”[a，b]之間活動(dòng)，所以參變量k能在一定的范圍內(nèi)取值，這類問題一般是“求k的取值范圍”.本文通過典型例子，來說明利用“兩邊夾”方法解題的操作策略，由此提升學(xué)生“邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”，同時(shí)提升“學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維分析世界，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界”的能力.

1利用圖象兩邊夾

不等式g1（x）≤f（x）≤g2（x），x∈[a，b]的幾何意義是：在區(qū)間[a，b]上，函數(shù)f（x）的圖象位于函數(shù)g1（x）和g2（x）的圖象之間.若函數(shù)f（x）圖象被函數(shù)g1（x）和g2（x）的圖象“夾死”，則可以求出某些參數(shù)的值；若圖象間留有“縫隙”，則可求出某些參量的取值范圍.

圖11.1用于求值

例1[1]已知函數(shù)f（x）=x2+ax+b-2，a，b∈R.若對(duì)任意x∈[1，3]，總有|f（x）|≤12成立，求a，b的值.

解析由|f（x）|≤12，得：-x2+32≤ax+b≤-x2+52.①

如圖1，不等式①表示線段y=ax+b（x∈[1，3]）夾在函數(shù)y1=-x2+32和y2=-x2+52的圖象之間.

計(jì)算發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過A，B兩點(diǎn)的直線y=-4x+112與函數(shù)y1的圖象相切.也就是說直線y=-4x+112是被函數(shù)y1和y2的圖象“夾死”的唯一直線段，故a=-4，b=112.

文[1]作者通過平移圖象，用數(shù)形結(jié)合的方法巧妙給出解答，平移后的整個(gè)圖形稍欠簡(jiǎn)潔，本文利用函數(shù)圖象構(gòu)造兩……