利用導數證明函數不等式的五個策略

徐加華

在近幾年的高考和各地的高考模擬試題中，與函數有關的不等式證明問題逐漸受到命題專家的青睞，這類問題具有極強的綜合性和技巧性，考查的內容豐富，思想深刻，對于考查考生是否具有扎實的基本功和良好的基本素養不失為一個好的載體.本文立足于當前高中知識，對此類不等式進行了深入的研究.從技巧的角度總結了證明函數不等式的五個策略——構、移、放、分、拆.現結合一些具體例子與大家共享.

1構

“構”就是指從所證不等式的結構和特點出發，利用轉化與化歸思想，構造一個新的差函數或者商函數，然后借助導數確定函數的單調性、最值問題，從而實現問題的轉化，進而使不等式得到證明.其一般步驟是：構造可導函數→研究單調性→最值→得出不等關系→整理得出結論.基本模式為： （1）證明f（x）0，g（x）>0，也可構造商函數F（x）=f（x）g（x），證明F（x）=f（x）g（x）<1即可. （2） 證明f（x）>g（x），x∈（a，b），可以構造函數F（x）=f（x）-g（x），如果F′x>0，則F（x）在x∈（a，b）上是增函數，同時若F（a）≥0，由增函數的定義可知，x∈（a，b）時，有F（x）>0，即證明了f（x）>g（x）.當然如果f（x）>0，g（x）>0，也可構造商函數F（x）=f（x）g（x），證明F（x）=f（x）g（x）>1即可.

例1已知函數f（x）=ln（x+1）-x，求證：當x>-1時，恒有1-1x+1≤ln（x+1）≤x.

分析本題是雙邊不等式，其右邊直接從已知函數證明，左邊構造函數g（x）=ln（x+1）+1x+1-1，從其導數入手即可證明.

解析f′（x）=1x+1-1=-xx+1， 所以當-10，即f（x）在x∈（-1，0）上為增函數；當x>0時，f′（x）<0，即f（x）在x∈（0，+∞）上為減函數；故函數f（x）的單調遞增區間為（-1，0），單調遞減區間（0，+∞）.于是函數f（x）在（-1，+∞）上的最大值為f（x）max=f（0）=0，因此，當x>-1時，f（x）≤f（0）=0，即ln（x+1）-x≤0，所以ln（x+1）≤x.令g（x）=ln（x+1）+1x+1-1，則g′（x）=1x+1-1（x+1）2=x（x+1）2，

當x∈（-1，0）時，g′（x）<0；當x∈（0，+∞）時，g′（x）>0 ，即g（x）在x∈（-1，0）上為減函數，在x∈（0，+∞）上為增函數，故函數g（x）在（-1，+∞）上的最小值為g（x）min=g（0）=0，

所以當x>-1時，g（x）≥g（0）=0，即ln（x+1）+1x+1-1≥0，所以ln（x+1）≥1-1x+1，綜上可知，當x>-1時，有1-1x+1≤ln（x+1）≤x.

2移

“移”指的……