基于綜合能力培養(yǎng)的線性代數(shù)教學(xué)內(nèi)容的改革

張興剛+戴丹

【摘要】傳統(tǒng)線性代數(shù)教學(xué)中存在的許多問題，主要來源之一是傳統(tǒng)教學(xué)目標(biāo)以及教學(xué)內(nèi)容的不足.本文根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)和發(fā)展的需要，確立了以綜合能力培養(yǎng)為核心的教學(xué)目標(biāo).基于新的教學(xué)目標(biāo)，從梳理基本知識(shí)體系、融入幾何要素、引入數(shù)學(xué)軟件、加強(qiáng)實(shí)際應(yīng)用等方面對(duì)傳統(tǒng)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行改革，探討了這些改革措施的必要性和意義.

【關(guān)鍵詞】能力素質(zhì)；教學(xué)內(nèi)容；線性代數(shù)

線性代數(shù)主要研究有限維、具有線性結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)對(duì)象，它為涉及多因素、多變量的許多問題提供了數(shù)學(xué)語言和解決問題的方法.同時(shí)，它也是進(jìn)一步理解無限維、非線性等問題的基礎(chǔ).因此，從數(shù)學(xué)本身來看，線性代數(shù)是多元微積分、多元概率統(tǒng)計(jì)、微分幾何等數(shù)學(xué)分支的基礎(chǔ).將數(shù)學(xué)用于自然科學(xué)以及人文社會(huì)的許多學(xué)科時(shí)，一般都會(huì)涉及多因素、多變量的問題，而計(jì)算機(jī)的發(fā)明和應(yīng)用，使得線性代數(shù)成為解決大量實(shí)際問題的有效工具.于是，線性代數(shù)自然而然地成為理工、經(jīng)管等許多非數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，它不僅能為學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)和專業(yè)課程提供必要的基礎(chǔ)，也能在很大程度上提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和能力.然而，社會(huì)的發(fā)展和教學(xué)理念的革新，使得傳統(tǒng)的線性代數(shù)教學(xué)越來越顯現(xiàn)出其弊端和不適應(yīng)性.如何對(duì)傳統(tǒng)線性代數(shù)教學(xué)進(jìn)行合理、有效的改革，實(shí)現(xiàn)這門課程應(yīng)有的培養(yǎng)目標(biāo)，成為一個(gè)重要且緊迫的問題.

一、傳統(tǒng)線性代數(shù)教學(xué)的問題

在傳統(tǒng)的線性代數(shù)教學(xué)中，無論是教學(xué)內(nèi)容還是教學(xué)方式，都存在著許多問題.例如，教學(xué)內(nèi)容的代數(shù)“味道”濃厚，缺乏幾何直觀，這使得本來就比較抽象的線性代數(shù)更加抽象難懂；過于注重?cái)?shù)學(xué)理論的教學(xué)，幾乎沒有對(duì)學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用、科學(xué)計(jì)算等方面的能力提出要求.這些問題使得即便是認(rèn)真努力的學(xué)生，也往往只是掌握了基本的數(shù)學(xué)知識(shí)和具備了初步的解題能力；難以做到對(duì)各部分知識(shí)的融會(huì)貫通以及對(duì)蘊(yùn)含于線性代數(shù)中數(shù)學(xué)思想的深入理解，也很缺乏幾何直覺以及應(yīng)用線性代數(shù)描述解決實(shí)際問題的能力.這些問題的產(chǎn)生主要來源于傳統(tǒng)教學(xué)是以傳授代數(shù)知識(shí)和培養(yǎng)解題技能為目標(biāo)的.我們認(rèn)為，傳統(tǒng)的教學(xué)目標(biāo)過于單一，它不僅不能很好地實(shí)現(xiàn)深入理解和掌握線性代數(shù)這一目標(biāo)，還忽視了其他必要的能力的培養(yǎng).教學(xué)就是在一定的教學(xué)理念和目標(biāo)的指導(dǎo)下，教師綜合考慮教學(xué)內(nèi)容、學(xué)生的特點(diǎn)、教學(xué)環(huán)境等因素，以恰當(dāng)?shù)姆绞脚c學(xué)生交流互動(dòng)、進(jìn)行教學(xué)安排，有效促進(jìn)學(xué)生素質(zhì)和能力的提升，從而實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)的過程.因此，教學(xué)改革中首先應(yīng)該確立恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)目標(biāo)，以及與教學(xué)目標(biāo)相對(duì)應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容.

二、教學(xué)目標(biāo)的設(shè)定

首先應(yīng)該注意到，不能孤立地看待知識(shí)和能力，各種能力之間也有密切的關(guān)系.人們?cè)谥R(shí)的學(xué)習(xí)、消化、吸收、應(yīng)用、發(fā)展的過程中形成了各種各樣的能力，例如，理解能力、應(yīng)用能力、創(chuàng)造能力，這些能力往往能夠相互地激發(fā)和加強(qiáng).對(duì)于非數(shù)學(xué)專業(yè)，學(xué)習(xí)線性代數(shù)的主要目的不是深入探究線性代數(shù)的邏輯體系、構(gòu)造定理并對(duì)定理進(jìn)行證明；而是領(lǐng)悟線性代數(shù)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，理解掌握線性代數(shù)中重要的概念、概念間的內(nèi)在聯(lián)系、重要的問題及解決問題的方法，并具備一定程度的將線性代數(shù)用于描述解決實(shí)際問題的能力；信息化時(shí)代也要求學(xué)生具備初步的科學(xué)計(jì)算能力.總的來說，應(yīng)該以有效地培養(yǎng)學(xué)生的理解掌握、實(shí)際應(yīng)用、科學(xué)計(jì)算等方面的綜合能力為線性代數(shù)的培養(yǎng)目標(biāo).其中，理解掌握線性代數(shù)知識(shí)體系的能力是核心，它可看成是由抽象概括、記憶與表示、數(shù)形結(jié)合、推理計(jì)算等多種能力復(fù)合而成的.

三、教學(xué)內(nèi)容的改革

顯然，教學(xué)內(nèi)容必須切實(shí)反映教學(xué)目標(biāo)，否則教學(xué)目標(biāo)就是空洞的.此外，教學(xué)內(nèi)容的設(shè)定及組織形式還應(yīng)綜合考慮課程的知識(shí)體系結(jié)構(gòu)、教學(xué)學(xué)時(shí)、學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)等因素.為了實(shí)現(xiàn)新的教學(xué)目標(biāo)，可以從以下幾個(gè)方面對(duì)傳統(tǒng)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行改革.

（一）梳理知識(shí)體系，引入過渡性內(nèi)容，減小理解的難度

線性代數(shù)的概念、定理眾多，看似零散繁雜，其實(shí)各部分之間聯(lián)系緊密.按照恰當(dāng)?shù)姆绞绞崂碇R(shí)體系，并向?qū)W生展示相應(yīng)的框架結(jié)構(gòu)，可以有效地提高學(xué)生的理解層次.例如，可將基本知識(shí)體系分為兩大部分：① 以矩陣為核心的代數(shù)部分；② 以線性空間為核心的幾何部分.通過詳細(xì)分析這兩部分包含哪些內(nèi)容、它們之間有什么關(guān)系，可以加強(qiáng)學(xué)生對(duì)線性代數(shù)的整體概貌以及“空間為體，矩陣為用”這一觀念的認(rèn)識(shí).另外，傳統(tǒng)教學(xué)內(nèi)容的難度梯度過大，不僅造成學(xué)生理解上的困難，還容易導(dǎo)致學(xué)習(xí)興趣和主動(dòng)性的喪失.通過引入過渡性的教學(xué)內(nèi)容可有效地解決這個(gè)問題.例如，增加三維空間中向量代數(shù)及幾何意義的討論，按照從二維、三維向量空間，到n維向量空間Rn，再到一般的向量空間，最后到線性空間的順序建立起抽象空間的概念.

（二）融入幾何要素

幾何直觀對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的許多知識(shí)都非常重要，試想如果沒有數(shù)軸、沒有復(fù)數(shù)的幾何意義，我們對(duì)于實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)的理解就不會(huì)太深刻.應(yīng)該把幾何要素作為教學(xué)的基本內(nèi)容，使之滲透到基本知識(shí)體系的各部分.由于二維、三維空間中的幾何對(duì)象以及對(duì)象間的關(guān)系比較容易感知到，因此通過繪圖等手段不難建立低維空間的幾何圖景.線性代數(shù)中的各種基本概念，在一般情況下會(huì)涉及高維的情形，無法找到直接的幾何對(duì)應(yīng)；但是，低維空間的幾何圖景可以遷移到高維的情形.要有效地實(shí)現(xiàn)幾何圖景的遷移，需要把幾何意義、幾何語言、幾何圖形等要素融入線性代數(shù)的許多概念和問題的討論中.我們發(fā)現(xiàn)，線性代數(shù)中的大部分概念和重要的結(jié)果都可以找到恰當(dāng)?shù)膸缀螆D景.

（三）引入數(shù)學(xué)軟件

隨著信息技術(shù)的發(fā)展，將數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)等知識(shí)結(jié)合起來解決工程、技術(shù)、科研等方面的問題越來越普遍，這也使得科學(xué)計(jì)算能力應(yīng)該成為許多專業(yè)的基本能力之一.由于大量的科學(xué)計(jì)算問題與線性代數(shù)密切相關(guān)，因此有必要在線性代數(shù)的教學(xué)中適當(dāng)?shù)匾霐?shù)學(xué)軟件（例如，Matlab）的運(yùn)用.這不僅可以作為科學(xué)計(jì)算的啟蒙，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和應(yīng)用線性代數(shù)的興趣，還使得學(xué)生有更多精力集中于數(shù)學(xué)思想的感悟和知識(shí)結(jié)構(gòu)的理解.當(dāng)然，適當(dāng)?shù)氖炙銓?duì)于學(xué)生來說仍是非常必要的.可以用少量的學(xué)時(shí)介紹數(shù)學(xué)軟件的基礎(chǔ)知識(shí)（例如，系統(tǒng)環(huán)境、矩陣運(yùn)算、基本繪圖命令等部分），結(jié)合例題、習(xí)題、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)等方式提升學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件解決線性代數(shù)問題的能力，這種能力對(duì)于學(xué)生運(yùn)用線性代數(shù)解決實(shí)際問題非常重要.

（四）加強(qiáng)線性代數(shù)與實(shí)際問題的聯(lián)系

在線性代數(shù)的教學(xué)中引入恰當(dāng)?shù)膶?shí)際問題，不僅能加深和鞏固有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，提升應(yīng)用線性代數(shù)描述和解決實(shí)際問題的能力；還能使學(xué)生真正體會(huì)到線性代數(shù)的重要性，生動(dòng)有趣的應(yīng)用實(shí)例也能進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.可以基于實(shí)際問題的討論引出相關(guān)的數(shù)學(xué)概念和問題，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解；也可以在各個(gè)知識(shí)板塊當(dāng)中引入綜合性的應(yīng)用實(shí)例或項(xiàng)目，通過分析實(shí)際問題、建立數(shù)學(xué)模型、求解模型、討論結(jié)果這一過程的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練，提高學(xué)生的綜合能力.對(duì)于實(shí)際問題的選擇，需要注意以下一些方面：① 所引入的實(shí)際問題最好是不需要太多專業(yè)背景就可以理解的問題，例如，可以考慮線性電路、化學(xué)方程式配平、種群的演化等問題，這些問題用一般的常識(shí)或中學(xué)的知識(shí)就可以理解；② 設(shè)置適量的需要將線性代數(shù)、數(shù)學(xué)軟件結(jié)合起來才能解決的實(shí)際問題，這會(huì)讓學(xué)生真正感受到“數(shù)學(xué)+專業(yè)知識(shí)+計(jì)算機(jī)”這種“現(xiàn)代化”的解決問題的方式及其優(yōu)點(diǎn).

四、結(jié)束語

教學(xué)是一項(xiàng)復(fù)雜程度不小的“系統(tǒng)工程”，需要將教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容、內(nèi)容的組織形式、教學(xué)手段、考核方式等方面有機(jī)地結(jié)合起來，才能取得良好的教學(xué)效果.本文提出的新目標(biāo)和新內(nèi)容，為整個(gè)教學(xué)改革奠定了基礎(chǔ).顯然，只有采取合理的教學(xué)方式以及考核監(jiān)督機(jī)制，才能有效地實(shí)現(xiàn)學(xué)生綜合能力的培養(yǎng).

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