淺議模型思想在初中數學教學中的滲透

梁潔瓊

[摘? 要] 在課堂教學過程中，我們不僅要教會學生必備的數學知識與技能，更要滲透思想與方法，真正詮釋數學的價值和內涵. 本文結合“不等式與不等式組”，談如何滲透數學模型思想，以此真正詮釋數學的魅力.

[關鍵詞] 模型;初中數學;滲透;價值

模型思想是數學基本思想中的一種，《義務教育數學課程標準》將模型思想列為十大核心概念之一. 在初中階段，模型思想是連接數學與生活的橋梁，它能讓學生體會和理解數學與外面世界的聯系，從而更好地理解數學的內涵與本質. 在教學中滲透模型思想，不僅有利于教學目標的完成，而且能提高學生解決問題的能力，能促進學生數學思維品質的形成與發展. 下面，筆者以“不等式與不等式組”一章中的部分教學片段為例，談談自己在數學教學中滲透模型思想的看法.

源于生活，感知模型

模型的建立是一種由具體的實際問題轉變為抽象的數學問題的過程，這種模型的建立對學生的抽象思維能力提出了較高的要求，而初中生的抽象概括能力處于發展的初步階段，且模型思想是學生在模型建立過程中積累起來的一種固有數學素養，這種素養并不是與生俱來的，需要慢慢積累，因此，提升模型思想的感悟至關重要. “不等式與不等式組”一章的起始課是模型建立的基礎，在章節的起始課，我們要盡量提供與學生生活相關的素材，讓平時給人以嚴肅面孔的數學變得生動形象，讓學生知道數學源于生活，又服務于生活.

例如，在起始課引入不等式時便可以由以下實例展開教學.

觀察下面三個例子：①俗語“瘦死的駱駝比馬大”;②爸爸的收入不比媽媽低;③公路上的限速標志上寫著“100 km/h”.

師：上述例子反映了怎樣的一種關系？你能自己再列舉出一些具有類似關系的例子嗎？

通過觀察，學生很容易回答出第一個問題的答案，即上述例子反映出的是不等關系，教師提出第二個問題的目的是讓學生找到生活中具有不等關系的例子，從而更深刻地體會這種不等關系在生活中的廣泛存在性，進而對本節課的內容產生期待.

緊接著，可展示如下幾個較為復雜的數學例子：④m與5的和小于7;⑤a的一半不大于4;⑥晚自習的鈴聲響了，原有40人的教室里僅有x人，過了10分鐘，又來了4個人，但仍然有人缺席.

師：你能用數學語言描述上述6個數學例子嗎？

生：對于①，用x表示“瘦死的駱駝的體重”，用y表示“馬的體重”，則有x>y;對于②，用m表示爸爸的收入，用n表示媽媽的收入，則有m≥n;對于③，設汽車的速度為a km/h，則a≤100;對于④，m+5<7;對于⑤，1/2a≤4;對于⑥，x+4<40.

教師在此基礎上揭示定義：用符號“>”“<”“≥”“≤”及“≠”表示不等關系的式子叫不等式. 然后進一步總結：不等式是描述不等關系的數學語言，現實生活中的很多問題都可以通過不等式來刻畫. 以此讓學生領會數學和生活的密切聯系，感知不等式模型.

不等式起始課的作用之一就是“引導”，即從日常生活中的實例，上升到數學問題，自然引出不等關系，讓學生體會不等關系與不等式，從具體到抽象，激發學生學習不等式的興趣，并從整體上初步了解本章的知識線索. 教師的這種循循善誘、由淺入深、由此及彼的啟發式教學，不僅能讓學生深刻感受到模型思想的存在，還能讓學生感悟到模型思想的價值與魅力.

回歸本質，構建模型

在本章的起始課，學生對不等式有了初步的認識，也學會了用不等式來表示簡單的不等關系，而初中階段最常用的不等式模型是一元一次不等式（組），因此一元一次不等式（組）是本章教學的重點，也是后面學會建立不等式模型解決實際問題的基礎. 所以本節課的重點是讓學生通過本節課的學習，進一步提升模型思想在學生思維中的地位，充分啟迪學生模型思想的建立.

師：在本章的第一節課中，我們用不等式刻畫了現實生活和數學中的多種不等關系，現在我們再來回顧一下這些問題（PPT再現第一節課的問題）.

師：觀察下面這些不等式，你能將它們分類嗎？你的分類標準是什么？①x>y;②m≥n;③a≤100;④m+5<7;⑤1/2a≤4;⑥x+4<40.

意圖？搖 引導學生按照不等式中未知數的個數進行分類，從而得出結論：①②中含有兩個未知數，屬于一類;③④⑤⑥中只含有一個未知數，屬于另一類. 兩者對比呈現，能讓學生在知識結構中初步建構出一元一次不等式模型.

師（追問）：你能概括出這類不等式的特征嗎？

意圖？搖 引導學生類比已學過的一元一次方程的定義，從未知數的個數和次數出發，概括出這類不等式的特征.

在此，教師不僅通過類比的方法引導學生建構了新的認知，還讓學生在問題的啟迪下感受了模型思想的特點，在特點的自主建構下經歷概念的建構、模型的建構，而教師很好地達到了“授之以漁，與之共漁”的效果. 完成對比后，學生很快可以自發地揭示定義——只含有一個未知數，且未知數的次數是1的不等式叫一元一次不等式，以完成一元一次不等式定義的建構.

一元一次不等式（組）模型是某些實際問題的本質，因此，在進行一元一次不等式的概念教學時，依然以學生熟悉的例子為主線展開，讓學生感覺到這部分內容是自己所熟知的，從而自己建構一元一次不等式，為下一節課“一元一次不等式組”及解決實際問題打下基礎.

在模型思想的教學過程中，同學生一起感知模型、建構模型、揭秘模型是一個學生積淀模型思想的必經之路. 為此，教師要站在學生的思維高度，以學定教，以教促學，真正地和孩子們一起成長，一起生長智慧.

聯系實際，應用模型

不等式是刻畫不等關系的數學模型，它有著廣泛的應用. 學習數學最本質的目的是解決生活中的問題，所以利用一元一次不等式（組）解決實際問題是本章的難點. 筆者在教學這一內容時，從一個簡單的問題開始，進行展開.

問題？搖 某次知識競賽共有20道題，每答對一題得10分，答錯或不答都扣5分. 總分不低于90分才能進入決賽，那至少要答對多少道題才能進入決賽？

教師在講解這道題時應啟發學生思考以下問題：

（1）題中呈現出的是等量關系還是不等關系？（是不等關系）

（2）你能找出題中的數量關系嗎？（答對的題數×10-答錯或不答的題數×5≥90）

（3）假設答對x道題可以進入決賽，怎樣根據不等關系列式解答？（10x-5（20-x）≥90）

這道題的條件清晰，問題明確，難度較低，作為第一題，可以讓學生初步了解根據題中的不等關系建立不等式模型的一般思路和步驟. 講解完這道題，可以讓學生練習一道相似的試題，以鞏固思路和方法，為后面更深層次的問題做鋪墊.

練習？搖 學期結束了，班主任李老師讓生活委員小明去購買三好學生獎品，小明走訪了甲、乙兩個商場，發現兩個商場均以同樣的價格出售同樣的學習用品，且兩個商場都有優惠活動. 甲商場的優惠方案是：累計購物超過100元以后，超出的部分按原價的90%收費;乙商場的優惠方案是：累計購物超過50元以后，超出的部分按原價的95%收費. 假如你是小明，你應該怎樣選擇商場？

本題涉及的數量關系較多，教師讓學生充分審題后啟發學生分以下三種情況進行討論：（1）累計購物不超過50元時;（2）累計購物超過50元，但不超過100元時;（3）累計購物超過100元時.

解答? （1）當累計購物不超過50元時，兩商場均不享受優惠，所以到兩商場的花費一樣.

（2）當累計購物超過50元，但不超過100元時，在甲商場不享受優惠，而在乙商場享受優惠，所以應選擇乙商場.

（3）當累計購物超過100元時，設累計購物x（x>100）元. ①若到甲商場購物花費少，則50+0.95（x-50）>100+0.9×（x-100），解得x>150. ②若到乙商場購物花費少，則50+0.95（x-50）<100+0.9×（x-100），解得x<150. ③若到兩個商場的花費一樣，則50+0.95（x-50）=100+0.9×（x-100），解得x=150.

綜上所述，當購物不超過50元或剛好150元時，兩商場的花費一樣;當購物超過50元但不超過150元時，乙商場的花費少，應選擇乙商場;當購物超過150元時，甲商場的花費少，應選擇甲商場.

選擇方案問題是一元一次不等式與實際問題的常見問題，需要學生具有自主解讀條件、分析問題和建立不等式模型的能力. 在上述例題的基礎上，教師和學生共同總結和建立了不等式模型解決實際問題的基本步驟：審（審清題意）→找（找不等關系）→設（設未知數）→列（列不等式）→解（解不等式）→答（根據實際問題寫出答案）. 教師還強調，建立不等式（組）模型是解決實際問題的方法，而建立不等式組的依據是題目中的不等關系，讀透題目、找到題中的關鍵詞是找不等關系的突破口，因此，審題、找不等關系、列不等式（組）應環環相扣、層層深入.

在本章的教學過程中，教師始終以日常生活中的例子作為教學的載體，將學生熟悉的場景以數學問題的形式呈現出來，讓學生在無形中體會到數學與生活的聯系，學會用數學解決生活問題.

在教學中滲透模型思想對于學生更好地理解數學、應用數學有積極的作用. 無論是概念教學還是定理的推導，我們都應該先創設情境，讓學生從情境中抽象概括出數學問題，建立數學模型，領悟模型思想，進而學會用模型思想解決實際問題.