數學思想在小學奧數排列組合教學中的滲透

林美娟

摘 要：數學思想是指人們對數學理論和內容的本質的認識，是數學的精髓。計數問題是小學數學奧數競賽的重要知識點，排列組合是兩類特殊的計數問題，在排列組合的教學中教師應該及時地滲透數學思想：分類思想、數形結合思想、化歸思想、集合思想、整體思想、模型思想、方程思想等，使學生在掌握相關知識的同時培養并提高數學素養。

關鍵詞：小學奧數 排列組合 數學思想 滲透

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2017）11（b）-0134-03

日本數學家米山國藏說過：“作為知識的數學出校門不到兩年就忘了，唯有深深銘記在頭腦中的數學的精神、數學的思想、研究的方法和著眼點等，這些隨時隨地地發生作用，使人終身受益。”可見，數學的精髓不在于知識本身，而在于數學知識中所蘊含的數學思想方法。

數學思想是指人們對數學理論和內容的本質的認識，數學方法是數學思想的具體化形式，實際上兩者的本質是相同的，差別只是站在不同的角度看問題，通常混稱為“數學思想方法”。

計數問題是小學數學奧數競賽的重要知識點，排列組合是兩類特殊的計數問題，在排列組合的教學中教師可以及時地滲透數學思想，使學生在掌握相關知識的同時培養并提高數學素養。

1 分類思想

分類思想是排列組合中最常用的數學思想，它就是按照某一確定的標準，把所要研究的對象分成若干個既互斥又完備的子類的思想。

例1 由數字1，2，3，4組成六位數，要求1，2，3，4至少各出現一次，那么這樣的六位數共有幾個？

分析：根據題意，這樣的六位數，其中4個位置上的數必須是1，2，3，4，另外兩個位置的數只要這4個數中取即可。因此，本題可以分兩種情況來討論。

第一種情況是：另外兩個位置上的數是一樣的，這6個數字有且只有3個數字是相同的。

要得到這樣的六位數，分三步完成：

（1）從4個數中選出1個數；

（2）從6個位置中選出3個位置填上選出來的數；

（3）剩下的3個數填在剩下的3個位置上。

第二種情況是：另外兩個位置上的數字是不一樣的，這6個數字中有兩個A、兩個B、一個C、一個D。

要得到這樣的六位數，分四步完成：

（1）從4個數中選出2個數；

（2）從6個位置中選出2個位置填上選出來的一個數；

（3）從剩下的4個位置中選出2個位置填上選出來的另一個數；

（4）剩下的兩個數填在另外的兩個位置上。

根據分類和分步計數原理：這樣的六位數共有=1560個。

例2 如圖1所示，某花園可分為A、B、C、D、E五個部分，園林設計師打算最多用5種不同的植物裝飾花園，要求每一部分只能用一種植物，并且相鄰部分不能使用相同的植物，不相鄰的部分可以使用同一種植物，按以上要求，此花園共有多少種設計方案？

分析：因為A區與其他4個區域均相鄰，所以先在A區種植物，有5種植物可以選，B、D區是不相鄰的，選取的植物可以相同，也可以不同，因此可以分兩種情況來討論。

第一種情況：B、D區種的植物相同，有4種植物可以選，然后E、C區各有3種植物可以選。

第二種情況：B、D區種的植物不同，B區有4種植物可以選，D區有3種植物可以選，然后E、C區各有2種植物可以選。

根據分類和分步計數原理，此花園共有5×（4×3×3+4×3×2×2）=420種設計方案。

2 化歸思想

化歸思想：即把有待解決或未解決的問題，通過轉化過程，歸結為一類已經解決或較易解決的問題，以求得原問題解決的思想方法。

例1 馬路上有編號為1，2，3，…，10的10盞路燈，為節約用電又能看清路面，可以把其中的3盞燈關掉，但又不能同時關掉相鄰的兩盞，在兩端的燈也不能關掉。那么符合條件的關燈方法有多少種？

分析：問題可以轉化為：在7盞亮著的燈之間的6個空擋放3盞熄滅的燈，有幾種放法？或者在7盞亮著的燈之間放3塊擋板，有幾種放法？

由此可得：共有=20種。

例2 從1，2，3，…，100這100個自然數中，取出8個互不相鄰的自然數，有多少種方法？

分析：如果只是取8個自然數，那么問題就比較簡單。而現在要取的是8個互不相鄰的自然數，問題就比較復雜，感覺無從下手。如果把100個自然數看成馬路上有編號的100盞燈，那么問題就轉化為：在92盞亮著的燈之間以及兩端（共93個位置）放8盞熄滅的燈，有幾種放法？

由此可得：共有種放法。

3 模型思想

模型思想就是用數學的思維去思考實際問題，將其轉化為數學問題（這其中蘊含著轉化思想），建立數學模型，通過研究數學模型，進而得到問題解決的數學思想方法。

例1 將10個相同的雞蛋裝在3個不同的籃子里（每個籃子至少1個雞蛋），有多少種方法？

分析：轉化為“相同元素的分配問題（數學模型：檔板法）”：10個雞蛋排成一排，在它們之間放2塊擋板，把10個雞蛋分成三部分，有多少種方法？（10個相同的圓排成一排，在它們之間畫兩條直線，將它們分成三部分，有幾種分法？）

由此可得：共有種方法。

例2 3個男生，3個女生排成一排，要求任意兩個女生不能相鄰，有多少種排法？

分析：問題轉化為：先排一些元素（3個男生）然后插入其余元素（3個女生），利用插空法（數學模型）來解決。

由此可得：有·種排法。

4 數形結合思想

數形結合思想就是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，把數量關系問題轉化為圖形的性質問題或把圖形的性質問題轉化為數量關系問題來研究的思想。對于某些較為復雜的排列組合問題，可以利用數形結合思想，通過構造幾何圖形來求解。endprint

例1 甲乙兩人打乒乓球，誰先連勝頭兩局，則誰贏。如果沒有人連勝頭兩局，則誰先勝三局誰贏，打到決出輸贏為止，問有多少種可能的情況？

分析：由于這類問題比較復雜，可以通過畫樹形圖（圖2）來解決（圖中的“甲”表示“甲贏”）。

由圖可知：有14種可能的情況。

例2 如圖3所示，有5橫8豎構成的方格圖，從A到B（只能上行或右行）共有多少條不同的路線？

分析：根據圖形可以把問題轉化為：在11個空格中填上7個“→”（表示向前）和4個“↑”（表示向上），共有多少種方法？

由此可得：共有種方法。

5 集合思想

集合思想就是從集合的觀點出發，利用集合的有關概念、表示方法、性質來研究問題的思想。排列組合中的問題一般均可以用分類或分步的思想方法來解決，但對于限制條件較多的問題，從集合觀點來思考能收到意想不到的效果。

例1 從A、B、C、D、E、F、G七個人中選5人排成一排，要求同時滿足：（1）A不在首位；（2）B不在末位；（3）C不在中間。問：有多少種滿足條件的排法？

分析：從集合觀點考慮：設I={從7人中選出5人的排法}，S1={A在首位的排法}，S2={B在末位的排法}，S3={C在中間的排法}。則S1∪S2∪S3={A在首位或者B在末位或者C在中間的排法}，={A不在首位、B不在末位、C不在中間的排法}（可以配以集合的文氏圖）。

所以，滿足條件的排法總數為：

6 整體思想

整體思想就是將問題中的某一部分看成一個整體進行研究的思想。對于某些元素必須排在一起的排列組合問題，可以將這些元素看成一個整體，和其他元素一起先排，再排整體中的元素，從而使問題獲解。對于某些元素必須分在同一組的排列組合問題也可以類似處理。

例1 （1）4個男同學，3個女同學排成一排照相，男女同學各自排在一起的排法有多少種？

（2）將7個學生插到3個不同的班級中去，某兩位學生必須同班的插法有多少種？

分析：（1）將4個男同學看成一個整體，3個女同學看成另一個整體，這兩個整體排在一起，共有2種排法；而第一個整體中的男同學排成一排，有24種排法；第二個整體中的女同學排成一排，有6種排法。根據分步計數原理，符號條件的排法一共有288種。

（2）將這兩個學生看成一個整體（作為一個學生），這樣問題就轉化為：將6個學生插到3個不同的班里，有多少種方法？根據分步計數原理，符合條件的方法有36=729種（整體思想、模型思想、轉化思想）。

7 方程思想

方程思想就是從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為方程、不等式、方程與不等式的混合組，然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解的思想。

例1 一個口袋內有4個不同的紅球，6個不同的白球，若取一個紅球記2分，取一個白球記1分，從中任取5個球，使總分不少于7分的取法有多少種？

分析：設取x個紅球，y個白球，則

解得：

由此可得：符合條件的取法有種。

例2 將10個完全相同的小球放入編號為1，2，3的3個盒子內，要求放入盒子的球數不小于它的編號數，則不同的放法有多少種？

分析：設編號為1，2，3的三個盒子中分別放入x，y，z個小球。

于是題中不同的放法就是方程：x+y+z=10（x≥1， y≥2，z≥3）的正整數解的個數。

令u=x，v=y，w=z-2，得u+v+w=7。

所以該方程的正整數解的個數就是所求的放法數。

由此可知有種放法。（把7個1分成三部分）

數學思想有：分類思想、化歸思想、數形結合思想、模型思想、方程思想、函數思想、極限思想、整體思想、對應思想等。作為教師在講授知識的同時要讓學生及時地歸納解決問題的方法，感悟其中的數學思想。只要持之以恒，讓數學思想的滲透貫穿整個教學過程，就可以逐漸地提高學生的數學素養，并且也有利于知識的掌握。

參考文獻

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[3] 錢娟.“認識概率”中的數學思想方法[J].初中生世界，201（4）：56-58.endprint