測量重力加速度的幾種方法比較

谷釗溯

摘 要：作為一個極為重要的物理量，重力加速度的值能否準確測量關系到許多方面的發展。目前，測量重力加速度的方法有很多種，本文中將一些方法進行了比較和分析。研究結果表明，經典的測量方法操作簡便，器材簡單，但相對誤差較大。而在這些經典方法中，單擺法誤差最小。較新穎的弦振動法能夠更準確的測量重力加速度的值，但對實驗器材要求較高。

關鍵詞：重力加速度 平衡法 落體法 單擺法

中圖分類號：G632.41 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2017）11（b）-0250-03

重力加速度是一個重要的物理量，一般用符號g來表示重力加速度。重力加速度的值在地球表面不同地域會由于地球海拔、緯度等因素而不同。準確測量重力加速度對理論學習和科學研究都有重要的意義，準確測定重力加速度g值對于地球物理學、計量學、地震預報、重力探礦和空間科學都有著重要的意義。目前測量重力加速度的方法有很多種，常用的方法有平衡法、落體法、單擺法和弦振動方法。以下將對這幾種測量重力加速度的試驗方法進行比較分析，分析各種方法所具有的優勢。

1 平衡法

一般的平衡法是以重力G=mg為原理對重力加速度進行測量，其操作方法最簡便，但誤差較大，主要源于儀器（彈簧和物理天平）老化和人的主觀讀數，一般多用于粗測。

另外也可以通過物理受力平衡來測量重力加速度。例如阿基米德定律法就是通過物理懸浮水中時受力平衡來進行測量的。其優點在于操作簡便，可隨時進行實驗并能較快地得出當地重力加速度的值。但受到液體體積的不精準測量，默認常溫下自來水密度為1g/mL以及實驗器材本身存在的系統誤差使其相對誤差較大，但仍不失為一種簡便的測量方法。

當一個被輕繩吊掛的物塊放入液體中靜止時，物體受重力、拉力和浮力三力平衡，由牛頓定律可得，在此狀態下，G=f+f1，其中G為物體受到的重力（即為mg），f是物體受到輕繩的拉力，f1是物體受到液體的浮力（見圖1）。

由阿基米德定律可知，浮力f1=ρg（V2-V1），其中ρ是液體的密度，（V2-V1）是物體的排水量，也即液體體積的變化量。由此可以得到重力加速度的計算式：

為了減少誤差，在進行實驗時可以多次重復實驗取平均值，也可以使用更精準的儀器。

2 落體法

落體法的實驗原理是根據自由落體運動的規律得來的。當用落體法測量重力加速度時，要使物體離地面有一定的高度。如果我們是在空氣中測量落體的重力加速度，那么物體還會受到空氣的浮力和阻力的作用，這些力也使物體的重量比地球對它的引力要小。所以嚴格來說還要考慮柯利奧利慣性力的影響。由于地球自轉的影響，空氣的存在，物體的重量不再簡單地只有地球對它的引力所決定，重量的指向也偏離了引力的指向。但是，理論分析表明，由于地球自轉的角速度數值較小，落體的速度也不大，所以這些因素所帶來的影響大多可忽略不計，因此在絕大多數情況下我們可將重量和引力視為一致，這是落體法測量重力加速度所必須的前提。因而在大多數情況下可以認為重量和引力相一致。

自由落體運動可以分為初速度為零和初速度不為零兩種情況。當初速度為零時，自由落體的運動規律為：

（1）

在初速度V0不為零的情況下：

（2）

上式中g是重力加速度，S是落體的位移，t是落體經過S所用時間，V0為初速度。

為了使實驗結果更準確，當V0=0時，時間和路程必須對應，即開始下落時開始計時，下落S時停止計時。對于V0≠0時，還必須要保證V0不變。

自由落體法一般借助于微秒計、鋼板尺和光電門來完成實驗的測量。通過條形重物下落，鋼卷尺測量長度，微秒計記錄重物通過光電門的時間，由此來測量重力加速度。實驗中需要測量的數據少，而且也縮短了實驗所用的時間，具有較強的操作性。

要使用這種方法來測重力加速度有兩個困難之處，一是難以確定光電門的臨界位置，若要使V0=0，就要保證光電門剛好位于不擋光的臨界位置，即使是光電門和靜止的小球間一個短小的距離△h也可能會引起明顯的測量數據誤差，這很難控制。二是難以準確測量下落的距離，小球處在什么位置時才算擋住了光是無法確定的，實驗儀器光電門精確度也有限，光電門本身的形狀限制，不能很準確的測出條形物塊下端與光電門的距離.這會對實驗結果帶來一定的誤差。因此落體法的誤差要遠高于其他方法的誤差。另外人為操作、外界條件等因素的影響，也會給實驗結果帶來一定的誤差。

3 單擺法

用一根細線拴住一個金屬的小球，線的質量遠小于球的質量，球的直徑遠小于線的長度，此裝置在重力作用下所產生的擺動即為單擺。單擺在擺動過程中，擺角小于5°時，金屬小球在做簡諧運動，其擺動周期、擺長與重力加速度成比例變化，實驗可以通過測量單擺的擺動周期和擺長來測量當地重力加速度（見圖2）。

（3）

上式中T為周期，l為擺長，即小球球心到懸點的距離，g為當地重力加速度。由式（3）可知：

（4）

即只需測量單擺擺長l和周期T即可得出當地重力加速度g。

實驗中采用單擺法測量重力加速度，過程操作簡單。 誤差主要源于擺動周期T與擺角θ的關系，其次是懸線質量小于擺球質量，小球半徑遠小于擺長；再者就是外界因素（如空氣的粘滯阻力及其他因素引起的摩擦力等）、秒表操作和讀數。為了減少誤差，目前在測量周期方面，很多都采用微秒計來完成。

4 弦振動法

弦振動法是一種較為新穎的測重力加速度的方法，其主要通過改變信號發生器產生的頻率，得到不同密度的弦在達到共振狀態下的共振頻率從而計算重力加速度。

沿著拉緊的弦傳播的正弦波可以用等式（5）描述：

y1=ymsin2π（x/λ-ft） （5）endprint