開放性數學教學與開放性思維

熊雪

摘 要 長期以來，數學課程總是強調它的“邏輯性”、“演譯性”和“封閉性”，但近年來，“開放性”的數學問題成為一個熱點，中考試題已有開放題出現，甚至高考也有開放性試題。因此，我認為有必要探討“開放性”數學教學及培養學生的開放性思維。

關鍵詞 開放性教學；數學；思維

中圖分類號：C931.1 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2018）16-0020-01

一、開放性數學

開放性數學教學的重點是數學問題的開放性設計，“開放性”問題是只條件開放（條件是在不斷變化的），結論開放（多結論或無固定結論的），解題策略的開放（可以用多種途徑解決的）的問題，也可以是一個實際問題。“開放性教學是”充分建立在對學生學習過程的認識的一種模式。它充分注重人在學習時表現出的強烈心理，通過教師有效引導，包括設置開放性問題、問題的層次性推進以及教學診斷優化控制教學過程，有效地發展學生的能力，“開放性”教學不僅使學生經歷一個知識獲得的過程和能力獲得的過程，更在于學生數學素養形成的過程，它具有以下的特征：

（一）主體性和主動性

“開放性”數學教學的實踐就是一種數學活動，通過活動讓學生學習自己獲取數學知識的方法，學習主動參與數學實踐的本領，進而獲得終身受用的數學基本技能和創造才能。如在學習“平行四邊形的判定”這節時，可以設計這樣一堂開放式的數學課，開始老師拿出一個平行四邊形并告訴學生兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。緊接著學生分小組研討，滿足什么樣的條件的四邊形可以被判定是平行四邊形？同學們一起猜想，爭論質疑，互相補充，他們不僅找到了一組對邊平行且相等，兩組對邊分別相等，對角線互相平分這三種教材上載明的判定方法，還發現用兩組對角分別相等，一組對邊平行且一組對角相等這些條件也能判定四邊形。對照教材，這些發現令同學們欣喜不已，不僅如此，在解決這一問題過程中，同學們還歸納出解決四邊形問題的三條主要途徑。這就是邊、角、和對角線。在運用“開放式”數學教學過程中，學生能主動參與和探索，經歷了歷史上數學家們曾經經歷創造過程（觀察、實驗、用直覺推理猜想加以證實），并開始形成一種很強烈的主體意識和學習需求。

（二）民主性與合作性

“開放式”數學教學就是要提供更多的機會。鼓勵學生不僅讀、寫，還要去講（表述自己的數學思想）、去聽（聽別人的想法）。因為數學不僅是模式的科學，也是一種交流形式，一種語言。它是自然語言的補充。例如：有許多個答案的問題，可以用多種方法解決的問題，條件不斷變化而結論始終不變的問題，這些問題靠一個人的力量很難圓滿解決，必須依靠集體的智慧和大家的力量。這樣的實踐使同學們深切感受到集體的重要和合作意義，同時，也使他們體驗到解決問題的過程也同樣重要，很多規律恰恰蘊藏于其中，可以說同學們從未像現在這樣強烈地意識到，在強調競爭的社會中，其實還有比競爭更重要的東西，那就是合作，未來社會需要的就是“合作型”人才。

二、開放性思維

開放性思維就是對在條件不斷變化的問題，結論不斷變化的問題，或條件和結論都可以變化的問題，從多種角度去考慮，需要有較強的組織能力、判斷能力及適應變化能力。這種思維要有靈活性和預見性，思路開闊。設計“開放式”的教學，做開放式的題目，可培養學生的“開放性”思維，下面是培養學生開放式思維的二例。

問題1：在1—8這八個數中，試在某些數前添加負號，使它們的代數和為零。

過程：在幾分鐘內，大部分同學都拿出了自己的答案，少則一個、多則幾個、十幾個，緊接著大家開始交流，叫一個學生講，大家補充。通過交流，同學們不僅找到了問題的答案，而且還找出了規律：這一問題的實質是將幾個數分成和相等的兩組數，各組數的和應為：1/2（1+2+3+……8）=18

（1）這樣在其中一組數前加負號，則兩組數的和為0。這樣的問題可歸納為找到幾個和為18的數。（2）找到了一組和為18的數，則余下的數和必為18，這兩數具有對偶性，在任一組數前加負號，它們的和都為0。（3）在8個數中，添加負號的數至少為3個，至多為5個，（因為8+7+3=18，1+2+3+4+8=18），循著規律去分析，大家終于得出這一問題的所有答案。

接著，師生共同設計如下的問題，若在1—9這9個數中，在其中的一些數前添加負號，能使它們的代數和為零嗎？如果在1—10這10個數呢？在1—11，1—12又怎樣？有什么規律？這樣討論，可以提高學生的興趣，又培養了學生的開放思維。

問題2：已知平行四邊形ABCD的對角線AC、BD____。求證：這個平行四邊形ABCD是____形。

要求：（1）完成填空。（2）證明此題。

開始學生獨立思考，然后組織爭論，并找一些同學說出自己的想法，最后教師歸納總結，這題有三種解法：

（1）平行四邊形ABCD的對角線相等，這個平行四邊形是矩形。

（2）平行四邊形ABCD的對角垂直，這個平行四邊形是菱形。

（3）平行四邊形ABCD的對角線相等且垂直，這個平行四邊形是正方形。

師生共同分析后，再讓同學們根據自己的能力，選擇一種方法證明。這樣，各層次的學生都有機會訓練，人人都有收獲。