高中數學函數學習中化歸思想的運用

摘 要：高中數學是高中課程中學習任務較重、難度較大的一門學科。高中數學中的函數學習又是高中數學中的難點和重點。因此，作為一名高中生，掌握一些高中數學函數學習的方法，對提高數學成績尤為重要。根據同學們在函數學習中的溝通和交流，均認為化歸思想是學好高中數學函數知識的有效方法。本文將介紹化歸思想的定義和特點，并采用習題案例分析化歸思想在高中數學函數中的運用，以期對同學們掌握化歸思想這一思維策略有所啟發。

關鍵詞：高中數學；函數；化歸思想；應用分析

一、 前言

數學是很多其他學科的基礎，通過學習數學不僅可以提升自己的邏輯分析能力，而且可以逐漸培養一些思維策略，這些思維策略對未來學習生涯甚至工作生涯都有著重要的作用和意義。高中數學作為數學學習的重要階段，正是培養自身思維策略的關鍵時期。而對于筆者及同學而言，高中數學中函數作為學習的重點和難點，對我們的思維策略開發有重要意義。筆者將在本文中介紹化歸思想的定義和特點，并引用案例探析高中數學函數學習中化歸思想的運用。

二、 化歸思想的定義與特點

化歸，廣義上是指通過分解、變形或者代換等方法，將問題由難化為易、由繁化為簡、由復雜化為簡單的過程，化歸是轉化與歸結的簡稱。

從定義可以看出，化歸是一種重要的解題思路，又是一種基本的思維策略，還是一種有效的數學邏輯思維方式。因此，所謂化歸思想，是指在研究或解決一系列數學問題時采用某種方法將數學問題變換而轉化為另一個問題，進而達到快速解題的一種方法。通常，運用化歸思想往往是將較為復雜的問題進行變換而轉化成較為簡單的問題；將較難解答的問題進行變換而轉化為較易求解的問題；將尚未知的問題進行變換而轉化為已知的問題。總而言之，化歸思想方法在解答數學題中運用廣泛。

化歸的主要特點是其具有靈活性和多樣性。靈活性體現在運用化歸思想解決問題時，通常不是直接解決原有題目，而是對要解決的題目進行一定的變形或者轉化，直到把待解決的問題化歸為某個或某些已解決的問題，或易解決的問題，該化歸的過程可以靈活掌握，運用自己最熟悉或最簡便的化歸思路。多樣性體現在運用化歸思想解決問題時，只要遵循已知的、基礎的、簡單的知識將未知轉化為已知的總體原則即可，要實現這個原則，我們可以采取很多方法，因此同一個題目可以有多樣化的化歸解題方法。

三、 高中數學函數學習中化歸思想的運用

化歸思想的基礎功能是：將生疏化為熟悉，將復雜化為簡單，將抽象化為直觀，將含糊化為明朗。歸根到底，化歸的實質就是要善于將待解決的問題進行變換和轉化。在高中數學函數中主要應用到的轉化方法有：待定系數法、配方法、整體代入法、由抽象到具體等。筆者將結合高中數學函數習題案例探討這些轉化化歸思想的運用。

（一） 化歸——待定系數法的應用

已知，f（x）是關于x的一個五次多項式，若f（-2），f（-1），f（0），f（1）均為0，f（2）為24，f（3）為360，求f（4）的值。

解題分析：因為f（-2），f（-1），f（0），f（1）均為0，所以該多項式f（x）中一定有因式（x+2），（x+1），x和（x-1），這4個因式的乘積已經為四次多項式，因此我們可以將該多項式設為（x+2）×（x+1）×x×（x-1）×（ax+b），再運用待定系數法，求出a與b的值之后代入到原多項式中，便可得出f（4）的值為1800。

（二） 化歸——配方法的應用

請求出拋物線：y=3x2-6x-3的頂點坐標。

解題分析：采用配方法可以將該拋物線y=3x2-6x-3轉化為：y=3（x2-2x-1）=3（x2-2x+1-1-1）=3（x-1）2-6

由轉化后的拋物線函數關系式，可以直觀地看出其頂點的坐標應為（1，-6）。

（三） 化歸——整體代入法的應用

已知，實數x和y滿足方程式x2+3x+y-3=0，求x+y的最大值。

解題分析：運用整體代入法，先將y用表示為含有x的式子，再代入（x+y）。

具體步驟為：x2+3x+y-3=0可以轉化為y=3-3x-x2，代入（x+y）可以得出（x+y）=3-2x-x2，再利用配方法可以得出（x+y）=-（x2+2x-3）=-[（x+1）2-4]=4-（x+1）2。

因為（x+1）2大于等于0，所以4-（x+1）2小于等于4。故（x+y）的最大值為4。

（四） 化歸——由抽象到具體法的應用

有一個三組對棱分別相同的三棱錐，棱長分別為13、14和15，求該三棱錐的體積。

解題分析：采用由抽象到具體的方法，將三棱錐看作截去四角的長方體，題目便可轉化為用函數方程求長方體的長寬高。再根據長方體的體積間接得出三棱錐的體積。

從這些例題解析中，可以看出化歸思想在我們的高中數學函數學習中，幾乎無處不在。因此，掌握正確的方法來應用化歸思想的方法進行解題是我們每一名學生的使命，在應用化歸思想解答數學問題時，應注意以下三點：

1. 要緊盯化歸的目標，以確保化歸實施的有效性和規范性

化歸思想作為一種解題方法，其包括化歸對象、化歸目標及化歸方法（途徑）3個要素。實施化歸思想方法要求我們根據數學題目選擇出明確的對象、設計好解題目標、選擇好轉化方法。首先，設計出正確的解題目標是解決問題的關鍵，通常，設計化歸的目標時，要以課本中的基礎知識和基本方法為依據，并把待解決的問題化歸為與課本知識或方法相一致的問題。其次，化歸方法的選擇決定了化歸是否能夠如期完成。同時我們還要考慮化歸方法的可行性和有效性，確保合理使用化歸思想方法。因此，在解題的過程中，我們必須始終緊盯化歸目標，合理選擇化歸對象，正確運用化歸方法。endprint

2. 應注意化歸中轉化的等價性，以保證運用正確的邏輯解題

化歸可分為等價化歸和非等價化歸，在我們高中數學中的化歸大多為等價化歸。等價化歸要求我們在對題目進行轉化時，必須有充分的和必要的前因后果，以確保最終轉化后的結果即是原題的結果。

3. 應根據題目設計出合理的轉化方案，并注意轉化的多樣性

轉化是化歸思想的核心，并且在轉化的過程中，往往可以采取多種轉化的途徑和方法達到同一目標。因此我們需要研究和設計出合理的、最簡捷的轉化方法，避免生搬硬套，造成解題過程繁難不堪。

四、 總結

化歸思想在高中數學函數中的應用意義重大，為我們解答數學函數問題，提供了多元化的思維模式，通過針對不同類型的函數問題，聯想適合的問題轉化方式，將問題由難化易，由繁化簡，由未知化為已知，整個過程中，同學們在解答數學函數問題的同時，也潛移默化地提高了思維的靈活性和多元性。這不僅對當下的高中學習大有益處，也為將來思維的拓展打下堅實的基礎。

然而，在運用化歸思想解答高中數學函數問題時，我們也要注意化歸思想的用法，一方面，要確保緊盯解題目標，避免因偏題浪費解題時間或錯用化歸；另一方面，要保證化歸過程中的等價轉化，避免因轉化錯誤，導致解題失敗；同時，還要打開思維，尋找最簡捷的化歸轉化途徑，以縮減解題時間，簡化解題過程。

總之，只有正確地應用化歸思想，才能真正發揮化歸思想在高中數學函數學習中的作用。

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作者簡介：肖煜恒，湖北省襄陽市，湖北襄陽第四中學。endprint