構造法在高中數學解題中的應用

賈一鳴

摘 要：通過構造函數、向量、方程、不等式、圖形、二項式等，可以把很多原本難以解決的數學題，轉化為比較容易解決的問題。構造法在高中數學解題過程中的地位越來越重要，是創新解題的一種重要表現。利用構造法可以創新解題思路，找到困難問題解題的突破口，通過總結做題方法，逐步提升高中數學的解題能力與認知水平。

關鍵詞：構造法；高中數學；解題；應用

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9132（2018）01-0094-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2018.01.059

一、構造法的定義

所謂構造法，就是根據題設條件、特點，用另外的角度理解，轉化為其他易于解題的形式，從而順利解決原來的問題的方法。一般來講，原問題的條件之間關系比較隱含，需要轉化為新構造的條件比較顯化的問題，可以應用構造法進行解題。

二、構造法的來歷

我國三世紀的數學家劉徽為了研究球的體積公式，構造了“牟合方蓋”，但他當時還沒有求出來。二百多年后數學家祖沖之的兒子祖暅提出“冪勢既同，則積不容異”，利用構造法求出了半球的體積公式，從而得出了球的體積公式，這是古代中國數學的輝煌成就。直到1635年，意大利數學家卡發雷利出版的《連續不可分幾何》中，提出了等積原理，所以西方人把它稱之為卡發雷利原理，其實他的發現要比我國的祖暅至少晚1100多年。

近代構造法的系統創立者是布勞威，他完整地從哲學和數學兩方面發展了“存在必須被構造”的觀點。我國當代數學家吳文俊曾說過“我國傳統數學在從問題出發、以解決問題為宗旨的發展過程中建立了以構造性與機械化為其特色的算法體系，這與西方數學以歐幾里得《幾何原本》為代表的所謂公理化演繹體系正好遙遙相對”。

三、構造法的在解題中的應用

（一）構造圖形求四面體的體積

例1 求棱長分別為4、5、6的四面體的體積。

分析：直接計算或利用坐標計算都比較困難，改用構造法。

解：構造一個長方體，設棱長分別為，根據題意

構造特值函數的關鍵是使分散的函數關系、條件集中轉化為某個簡單函數，向著有利于判斷不等式的方向發展。

（四）構造等式求數列的和

例4 已知數列{an}的通項an=n2，求此數列的前n項的和Sn。

解：Sn=12+22+32+…+n2，

構造等式（n+1）3=n3+3n2+3n+1

作差（n+1）3-n3=3n2+3n+1

n3-（n-1）3=3（n-1）2+3（n-1）+1

33-23=3·22+3·2+1

23-13=3·12+3·1+1

上述各式相加，得

構造向量的關鍵是使a與b都是常數。

（六）構造復數二項式求若干項的和

例6 設（x+1）2017=a0x2017+a1x2016+a2x2015+…+a2016x+a2017，

那么a1+a5+a9+…+a2017的值為___________。

解：利用復數的特點構造二項式。

令x=i，得（i+1）2017=（a1-a3+a5-a7+…+a2017）+（a0-a2+a4-a6+…+a2016）i

又（i+1）2017=（i+1）4×504+1=[（i+1）4]504·（i+1）=（-4）504·（i+1）=21008+21008i

所以a1-a3+a5-a7+…+a2017= 21008 ①

令x=1，得a0+a1+a2+a3+…+a2017= 22017 ②

令x=-1，得 -a0+a1-a2+a3+…+a2017=0 ③

②+③，得a1+a3+a5+…+a2017= 22016 ④

①+④，得 a1+a5+a9+…+a2017= 22015+21007

所以a1+a5+a9+…+a2017的值為22015+21007。

（七）構造三角恒等式求sin18°的值

例7 求sin18°的值

解：構造恒等式cos 54°=sin36°

即cos36°cos18°-sin36°sin18°=2sin18° cos18°

化簡，得4sin218°+2sin18°-1=0

解得， sin18°（另一根為負值，不符合題意，舍去）

參考文獻：

[1] 余江兵，嚴鎮軍.構造法解題[M].合肥：中國科學技術大學出版社，1992.

[2] 馮躍峰.研究特例 發現構造[J].中等數學，2009（2）.endprint