高中數學解題中數形結合的運用解讀

魏述琦

摘 要：本文從高中數學解題中數形結合的作用入手，通過實際案例簡要介紹筆者在高中數學學習中應用數形結合的主要思路和方法，對（學生）理解數學知識、掌握數學原理具有積極影響，從而簡化解題步驟，具有一定的現實意義。

關鍵詞：高中數學 數形結合 解題

“數”與“形”是高中數學中最為重要的兩個組成部分[1]，二者相輔相成，通過數形結合與轉換，能夠提高解題速度，將復雜的數學問題簡單化，從而更好的理解數學知識，提升（學生的）解題能力。

一、高中數學解題中數形結合的作用

數形結合是數學解題中重要的解題方法之一，“數”指的是代數，“形”代表幾何，這兩者都是數學中的重要分支。解題時采用數形結合具有極高的優勢，一方面，利用“形”使“數”直觀化，便于思考，獲得解題思路；另一方面，利用“數”使“形”抽象畫，從而精確的研究“形”的具體特征和內涵，找到解題切入點[2]。這種數形結合的解題方法，能夠幫助我們了解到數學中“數”與“形”的關系，同時將“數”與“形”相互轉化，簡化解題步驟，在應用數形結合解題過程中，與題目條件相互博弈，從而獲得數學解題樂趣和成就感，培養強大的數學學習自信。

二、高中數學解題中數形結合的應用

1.高中數學集合解題中數形結合的運用

在三年高中數學學習中，筆者發現集合與數形結合具有很大聯系，利用維恩圖、數軸圖像來解決集合問題，使解題思路更加清晰，即便是復雜的集合問題，也能夠通過數形結合的方式來解答。因此，筆者在集合解題中經常采用數形結合解題方式，久而久之，（學生）對集合概念、特點、原理掌握能力有所提高[3]，解答節省了時間，提升了集合解題速度。例如，習題：某班共計37名學生報名參加唱歌、舞蹈、畫畫三個第二課堂小組。每人至少參加一個第二課堂小組，在沒參加唱歌小組的學生中，參加舞蹈小組人數是參加畫畫小組的2倍，只參加唱歌小組的人數比剩下參加唱歌小組的多1人，只參加一個第二課堂小組的學生中有50%沒有參加唱歌小組。問，只參加舞蹈小組的人數？參加唱歌小組的人數？在這道習題中，各種變量之間的關系較為復雜，很難樹立條件之間的關系，筆者將三個小組人數看做集合，分別將參加唱歌、舞蹈、畫畫小組的學生人數設為A、B、C；只參加一個小組的人數設為a、b、c；參加其中兩個小組的人數設為e、f、g；三個小組全部參加的人數設為g，最后通過維恩圖可以清晰獲得三個小組人數之間的關系（如圖一），利用方程就能夠輕松得出結果。

2.高中數學函數解題中數形結合的運用

函數本身就是“數”與“形”的結合，因此，采用數形結合方式來解答函數問題是最為基礎的能力。一方面，“數”為“形”總結規律，使“形”的數量關系得以體現；另一方面，“形”是“數”的表現，通過“形”能夠直觀了解“數”的變化趨勢[4]。在高中數學學習中，函數貫穿了整個數學知識之中，作為數學知識的重點內容，題目類型和變式較多，如果能夠掌握數形結合的規律，通過轉變“數”與“形”的解題角度，可使復雜的題目簡單化。例如，題目：如果0﹤m﹤n﹤1，判斷mm﹤mn、nm﹤nn、mm﹤nm、是否正確？這一題目的條件較少，不容易找到清晰的解題思路，筆者在遇到此類問題時，會假設m、n為具體數值，通過具體數值畫出函數圖像，從而判斷其正確性。通過這種“數”與“形”相互轉換的方式，將函數與其圖像相互聯系，能夠輕松獲得各個變量之間的關系，縮減解題時間。

3.高中數學方程和不等式解題中數形結合的運用

筆者認為，不等式是高中數學內容中的難點，很多不等式題目變量太多，解題時需要考慮的因素過多，在實際學習過程中，存在較多困難，尤其是一元二次不等式方面，題目難度較大。而將數形結合思想引入到一元二次不等式解題中，將不等式轉化成為函數圖像，可有效降低解題難度，從而直觀的進行分析，因此，數形結合是解一元二次不等式題目最為有效的方法。例如，題目：x2y≥xy+x，求x解集。這一元二次不等式題目可先畫出二次函數圖像，根據方程拋物線開口情況確定拋物線與x軸的交點，從而得出解集范圍，再套入到原題目方程中，即可得出x的解集。這種方式中，現將“數”轉化為“形”，再通過對“形”的分析，得出“數”的范圍，最后回歸到“數”中，解得答案，有效簡化整個解題過程，將抽象的“數”，用直觀的“形”表現出來，從而幫助筆者理清解題思路，提高一元二次不等式解題效率。

4.高中數學解析幾何解題中數形結合的運用

解析幾何雖然作為幾何學的一個分支，但是解析幾何與代數之間存在極強的關系[5]，利用代數思想來解答解析幾何題目，能夠有效提升解題速度，為解題帶來新的方法和思路，降低題目難度。例如，題目：在拋物線y2=4x中存在點K，已知，點K距離點A的距離為m，點K與拋物線y2=4x焦點的距離為n，如果m+n為最小值，求得點K的坐標。這一題目中存在較多條件，但如果畫出對應圖形，就能夠發現其中一些條件是無用的，諸如m和n與題目本身沒有關系，僅僅是一個概念，因此只要畫出準線l，KA與l相互垂直，并保證其距離最短，就能夠得出點K的具體坐標為（1/4，-1）。通過這種方式，將數形相互結合，轉換解題切入點，能夠找到更為簡潔和方便的解題方法。

結語

綜上所述，數形結合在函數解題、集合解題、方程和不等式解題及幾何解題中均存在重要作用，促使筆者找到更為簡單和直接的解題思路，使復雜的數學題目簡單化，抽象的題目具象化，對解題速度和解題準確率具有積極影響，因此，同學們應重視數形結合方法在高中數學中的合理、靈活運用，從而擴寬數學解題思維，提升數學能力。

參考文獻

[1]楊建珍.淺談數形結合在高中數學中的應用技巧[J].科學咨詢，2016（33）

[2]唐卓雅.高中數學中數形結合思想的學習體會[J].大科技，2017（29）：27.

[3]黃江寧.高中數學對數形結合方法的應用探討[J].數理化學習（高一二版），2015（12）

[4]周明陶.數形結合解題思想在高中數學中的應用[J].考試與評價，2017（4）

[5]肖婕.高中數學函數解題過程中"數形結合"法的運用[J].青年時代，2016（24）endprint