數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)過程中引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解題風(fēng)險(xiǎn)的認(rèn)識(shí)

孫如敏

【摘要】自人類誕生以來風(fēng)險(xiǎn)一直與我們相伴，風(fēng)險(xiǎn)一詞我們并不陌生，也許在其他領(lǐng)域我們將會(huì)聽得更多，尤其是各種各樣的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中風(fēng)險(xiǎn)一詞出現(xiàn)的頻率是比較高的，其實(shí)何止是經(jīng)濟(jì)活動(dòng)領(lǐng)域，就算是在我們生活及學(xué)習(xí)的各種活動(dòng)中，風(fēng)險(xiǎn)依然是客觀存在的.只不過有些時(shí)候風(fēng)險(xiǎn)在相對(duì)較小的情況下人們?nèi)菀讓⑵浜雎远?在當(dāng)前的教育環(huán)境下，我認(rèn)為應(yīng)當(dāng)在我們的教學(xué)過程中讓我們的學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中感到危機(jī)和壓力，即灌輸風(fēng)險(xiǎn)無處不在的理性風(fēng)險(xiǎn)意識(shí).讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中接受挑戰(zhàn)，而數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)過程中對(duì)這一意識(shí)的培養(yǎng)無疑是很好的.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)課堂；教學(xué)過程；引導(dǎo)學(xué)生；解題風(fēng)險(xiǎn)

在學(xué)習(xí)過程中如何培養(yǎng)學(xué)生的風(fēng)險(xiǎn)意識(shí)以及如何增強(qiáng)學(xué)生抵御風(fēng)險(xiǎn)的能力？我們就從“不挑食”這一說法開始吧！記得很小的時(shí)候母親就對(duì)我說要做一個(gè)不挑食的孩子，只有這樣才能吸收萬(wàn)物的精華，只有這樣身體才能健康成長(zhǎng).而挑食的孩子在成長(zhǎng)的過程中總有這樣或那樣的健康問題.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也是如此，我們就主張學(xué)生們?cè)谇嗌倌陼r(shí)代的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中做一個(gè)不挑食的孩子，在學(xué)習(xí)的過程中只有“嘴不挑”的學(xué)生即各種知識(shí)和方法都敢擅于嘗試的學(xué)生抵御風(fēng)險(xiǎn)的能力才會(huì)強(qiáng).

首先不得不說無論我們面對(duì)的是哪一個(gè)行業(yè)，勤勞的人總比懶漢更加有能力抵御各種事實(shí)存在的不確定和風(fēng)險(xiǎn).這對(duì)于我們的學(xué)生而言尤為重要，對(duì)于一個(gè)中學(xué)生來說，如果希望在考試的過程中能夠取得較為滿意的成績(jī)，單單就在考場(chǎng)的狀態(tài)下問一名學(xué)生如何得到他所滿意的戰(zhàn)果即較高的分?jǐn)?shù).這樣的話顯然是片面的，至少是不全面的.想要對(duì)這一問題進(jìn)行回答我認(rèn)為自然離不開以下兩個(gè)方面：第一個(gè)方面就是平時(shí)“功夫”的修煉即完成對(duì)各類知識(shí)點(diǎn)及方法的記憶存儲(chǔ).而要想做好這件事，則大致需做好這樣三個(gè)層次的事情就好：第一個(gè)層次是知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的建立；第二個(gè)層次是從知識(shí)和方法中領(lǐng)悟各種數(shù)學(xué)思想方法；第三個(gè)層次就是選擇策略的權(quán)衡與把握.第二個(gè)方面：即在第一個(gè)方面完成較好的前提下如何在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)高質(zhì)量完成試卷，而解決問題的根源在于考生對(duì)于試卷上難度較大的題目選擇方法上的博弈時(shí)間是非常有限的，選擇充滿了不確定性，而選擇的偏好往往決定在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程，在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中形成的方法“偏好”，換句話講考試過程中對(duì)每道題方法的選擇就意味著選擇了做題風(fēng)險(xiǎn)，作為一名高中數(shù)學(xué)教師，我認(rèn)為對(duì)此問題不能不引起足夠的重視，如果能有一個(gè)較為穩(wěn)妥的解決途徑，即考生在做每一道題時(shí)盡量都能夠在較短時(shí)間內(nèi)選擇一種相對(duì)高效的辦法去完成，那么在擂臺(tái)式的考試中定能立于不敗之地.到了這里也該亮出我在本文中的觀點(diǎn)了，即我們應(yīng)當(dāng)在數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)過程中引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解題風(fēng)險(xiǎn)的認(rèn)識(shí)和把握.在數(shù)學(xué)的習(xí)題教學(xué)過程中，培養(yǎng)學(xué)生在較短時(shí)間內(nèi)完成對(duì)題目上方法選擇的最優(yōu)博弈.下面我就簡(jiǎn)單從幾個(gè)不同角度闡述在數(shù)學(xué)課堂中如何引導(dǎo)學(xué)生在解決問題的過程中認(rèn)識(shí)風(fēng)險(xiǎn)和把握風(fēng)險(xiǎn)的一些做法.

筆者先從習(xí)題課的講解中說起，我認(rèn)為解決思考難題或陌生題最好的做法是引導(dǎo)學(xué)生善于從難題或陌生題中創(chuàng)造一個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的輔助題，而這個(gè)輔助題恰恰能夠?qū)鉀Q這道題有很大的幫助，從而降低解決這道題的風(fēng)險(xiǎn)，美國(guó)的數(shù)學(xué)教育家G·波利亞曾在《怎樣解題》一書中提過輔助題目一詞，即輔助題目是這樣的一種題目，我們考慮它并不是為了它本身，而是因?yàn)槲覀兿Ｍ麑?duì)它的考慮可能有助于我們解決另一道題.下面僅提供兩個(gè)案例給出兩種常見手段演示構(gòu)造輔助題目的方法.

案例1已知函數(shù)f（x）=ex（2x-1）-ax+a（a∈R），e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).若有且只有唯一整數(shù)x0，滿足f（x0）<0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.（題目背景：高三第一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)章節(jié)復(fù)習(xí)完畢）

案例分析這是一道函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合題，對(duì)于剛剛復(fù)習(xí)完這一章的高三學(xué)生而言難度相對(duì)較大，學(xué)生在思考這道題時(shí)也許一點(diǎn)思路都沒有，教師在評(píng)講這道題的時(shí)候可以引導(dǎo)學(xué)生反復(fù)閱讀題目.下面設(shè)計(jì)了師生之間的一段簡(jiǎn)潔的對(duì)話.

T：同學(xué)們可以將題目反復(fù)細(xì)讀，覺得題目中哪個(gè)條件讓我們遇到困難，又有哪一部分我們是比較熟悉的，不要著急，反復(fù)揣摩，慢慢細(xì)讀.

S：從整個(gè)題目來看，這似乎是一個(gè)存在性的問題，對(duì)于這個(gè)問題的處理也許和恒成立一樣都是轉(zhuǎn)化為最值問題來做的.

T：?jiǎn)栴}是這個(gè)存在性問題和我們以往做的哪里不同呢？或者說這道題中讓你困惑不解的是哪里呢？

S：這不僅僅是存在實(shí)數(shù)的問題而是存在唯一整數(shù)x0的問題，看起來蠻讓人頭疼的.

T：能否將原題改造一下變成我們想要的題目呢？比方說將題目中的條件進(jìn)行弱化，即將“若有且只有唯一整數(shù)x0”改成“若存在實(shí)數(shù)x”從而這道題目就被我們改造成以下這樣一道題.

輔助題目：已知函數(shù)f（x）=ex（2x-1）-ax+a（a∈R），e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).若存在實(shí)數(shù)x，滿足f（x）<0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

S：這樣一改題目就變得十分熟悉了，接下來就采用常規(guī)手段參變分離轉(zhuǎn)化為最值問題就可以了.由f（x）<0得ex（2x-1）

當(dāng)x=1時(shí)，不等式顯然不成立.

當(dāng)x>1時(shí)，a>ex（2x-1）x-1；當(dāng)x<1時(shí)，a

記g（x）=ex（2x-1）x-1，

g′（x）=ex（2x+1）（x-1）-ex（2x-1）（x-1）2=ex（2x2-3x）（x-1）2，

∴g（x）在區(qū)間（-∞，0）和32，+∞上為增函數(shù)，（0，1）和1，32上為減函數(shù).

∴當(dāng)x>1時(shí)，a>g32=4e32，當(dāng)x<1時(shí)，a

綜上所述，所有a的取值范圍為（-∞，1）∪（4e32，+∞）.

T：我們?cè)倩剡^頭來看原題，做一個(gè)比較就會(huì)發(fā)現(xiàn)這道輔助題的解決恰恰給我們幫了一個(gè)大忙，下面只要在這道輔助題的基礎(chǔ)上進(jìn)行進(jìn)一步思考就可以了.

S：是的，我們繼續(xù)在此基礎(chǔ)上完成原題即可.由輔助題可知知a<1時(shí)，x0∈（-∞，1），由f（x0）<0，得g（x0）>a，又g（x）在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減，且g（0）=1>a，∴g（-1）≤a，即a≥32e，∴32e≤a<1.當(dāng)a>4e32時(shí)，x0∈（1，+∞），由f（x0）<0，得g（x0）

綜上所述，所有a的取值范圍為32e，1∪3e2，5e32.

首先，此案例是通過將其部分條件進(jìn)行弱化處理，使其難度降低，從而相對(duì)擴(kuò)大了其取值范圍，從中再進(jìn)一步篩選.打一個(gè)比方，一個(gè)魚塘里有一條美人魚，很想把她撈上來，怎么辦呢？是只對(duì)準(zhǔn)美人魚徒手撈嗎？有時(shí)候眼睛里只看到美人魚反倒效果不佳，倒不如回去弄張大網(wǎng)對(duì)美人魚所在附近一片區(qū)域進(jìn)行打撈，也許打撈上來的不止美人魚，不管怎么只要我們要的美人魚在這個(gè)網(wǎng)里面不就解決問題了？

其次，讓我們盡可能從多角度思考解題的方法，這樣也有利于降低解題的過程中的風(fēng)險(xiǎn)，教學(xué)過程中盡量培養(yǎng)學(xué)生思考風(fēng)險(xiǎn)和降低風(fēng)險(xiǎn)的能力，比方我們?cè)谥v授新課時(shí)，對(duì)某一例題的分析可以先著眼于本課節(jié)知識(shí)點(diǎn)和方法的運(yùn)用，然后再放眼于之前的知識(shí)點(diǎn)和方法的融合.舉一案例講解加以說明.

案例2

如圖所示，已知矩形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，點(diǎn)M，N分別在對(duì)角線BD，AE上，且BM=13BD，AN=13AE.

求證MN∥平面CDE.

分析中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將線面平行轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面的法向量互相垂直是關(guān)鍵，要引導(dǎo)學(xué)生探索得出.這是利用法向量和方向向量垂直關(guān)系來證明線面平行的一次運(yùn)用，因此，這種手段對(duì)學(xué)生而言試一次全新的角度，是一種新的方法的演繹，題中的長(zhǎng)度與欲證的結(jié)論無關(guān)，因此，為了便于運(yùn)算，設(shè)它們的長(zhǎng)分別為是合理的.學(xué)生對(duì)這種方法是充滿新奇的，讓學(xué)生回顧總結(jié)方法時(shí)可以回顧此題的一題多解即可以應(yīng)用共面向量定理來證明的，甚至也可以用必修2中傳統(tǒng)的線面平行的判斷定理來證明.通過這道例題的講解，讓學(xué)生從不同角度、不同手段和方法去思考完成線面平行的證明，即在證明線面平行的問題中，多種方法的掌握有利于學(xué)生降低做題的風(fēng)險(xiǎn).

當(dāng)然在數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解題風(fēng)險(xiǎn)的認(rèn)識(shí)的手段和方式是多樣的，比如，我們不單單是從具體的知識(shí)層面引導(dǎo)也可是解題意志和興趣的培養(yǎng)方面，比如，在教學(xué)過程中也可以通過數(shù)學(xué)史的有關(guān)趣味介紹提升學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，興趣是最好的老師，也是我們?cè)诮忸}過程中降低解題風(fēng)險(xiǎn)的潤(rùn)滑劑.教學(xué)法雖不應(yīng)該拘泥于某種固定的模式，但是我們可以嘗試先從某幾種模式開始，然后以此為起點(diǎn)輻射到數(shù)學(xué)教學(xué)中的各個(gè)方方面面.