注重合情推理和演繹推理的有效融合

唐植華

【摘要】在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，如何加強(qiáng)“圖形與幾何”主線內(nèi)容的教學(xué)，是當(dāng)前教師十分困惑的疑難問題.而注重合情推理與演繹推理的有效融合，則會“打開一扇窗”“亮起一盞燈”，為我們的課堂教學(xué)帶來一線生機(jī)，并指明方向.當(dāng)代數(shù)學(xué)教師不應(yīng)是別人教育成果的消費(fèi)者，而應(yīng)成為一個(gè)思考者.

【關(guān)鍵詞】圖形與幾何；合情推理；演繹推理；問題設(shè)計(jì)

一、問題背景

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中，“課程目標(biāo)”明確規(guī)定：“讓學(xué)生在參與觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明、綜合實(shí)踐等數(shù)學(xué)活動(dòng)中，發(fā)展合情推理和演繹推理能力，清晰地表達(dá)自己的想法.”在“實(shí)施建議”中又明確指出，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)注意以下幾個(gè)關(guān)系：1.面向全體學(xué)生與關(guān)注學(xué)生個(gè)體差異的關(guān)系；2.“預(yù)設(shè)”與“生成”的關(guān)系；3.合情推理與演繹推理的關(guān)系；4.使用現(xiàn)代信息技術(shù)與教學(xué)手段多樣化的關(guān)系.

“圖形與幾何”在“課程名稱”方面的變化：

1.將《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》中的“空間與圖形”改為“圖形與幾何”.

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》修訂組組長史寧中教授的解釋為：“圖形”是存在，“空間”是存在的背景，“幾何”是運(yùn)用規(guī)則對圖形進(jìn)行研究，改為“圖形與幾何”更準(zhǔn)確一些.

2.將《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》中“圖形的認(rèn)識”和“圖形與證明”合并為“圖形的性質(zhì)”.

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》將“空間與圖形”分為圖形的認(rèn)識、圖形與變換、圖形與坐標(biāo)、圖形與證明4個(gè)部分；現(xiàn)在《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》將“空間與圖形”分為圖形的性質(zhì)、圖形的變化、圖形與坐標(biāo)3個(gè)部分.

將原來的“圖形的認(rèn)識”和“圖形與證明”合并為“圖形的性質(zhì)”，這樣處理決定了“圖形與幾何”的課程內(nèi)容將發(fā)生結(jié)構(gòu)性的變化.《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》將“圖形的認(rèn)識”“圖形與證明”這兩個(gè)具體目標(biāo)分開，決定了教材中，涉及幾何證明的內(nèi)容只能安排在八年級下學(xué)期和九年級進(jìn)行，而在七年級及八年級上學(xué)期只能運(yùn)用合情推理探索、發(fā)現(xiàn)圖形的性質(zhì).這樣安排有兩個(gè)方面的問題：一是將合情推理與演繹推理分開，割裂了它們之間的相輔相成的關(guān)系；二是重復(fù)較多，給人以“證”了兩次，“用”了兩次的感覺.根據(jù)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》修訂的教材從七年級上學(xué)期的“余角、補(bǔ)角”開始進(jìn)行推理證明，合情推理與演繹推理也得到進(jìn)一步的融合.可見課程目標(biāo)有規(guī)定，實(shí)施建議有明示，課程內(nèi)容有需求.

二、名詞解讀

推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式.推理一般包括合情推理和演繹推理.

合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果.

演繹推理是從已有的事實(shí)（包括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括運(yùn)算的定義、法則、順序等）出發(fā)按照邏輯推理的法則證明和計(jì)算.

合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論.《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確地提出，推理能力包含了合情推理能力與演繹推理能力.在高中的課程標(biāo)準(zhǔn)當(dāng)中，也提出了合情推理、演繹推理兩個(gè)概念，因此，現(xiàn)在從義務(wù)教育階段開始，我們就要關(guān)注兩種能力的培養(yǎng)，一直延續(xù)到高中.合情推理一般包括歸納和類比，演繹推理一般就是從基本事實(shí)出發(fā)，推出來一些定理，它們再作為推理的出發(fā)點(diǎn)，來進(jìn)行論證.我們在判斷一個(gè)命題是否正確的時(shí)候，首先運(yùn)用合情推理的方法，包括直觀、操作、猜測，然后得出假設(shè).這些假設(shè)是否能成立呢？我們就需要用演繹推理的方式去進(jìn)行證明.所以，合情推理往往是一種發(fā)現(xiàn)的方法和手段，而演繹推理是一種證實(shí)的手段，它們相輔相成，共同完成對一個(gè)命題的認(rèn)識.

在日常的教學(xué)中，我們要讓學(xué)生大膽地去發(fā)現(xiàn)、大膽地去歸納，大膽地去猜想.在課堂上通過動(dòng)手操作，通過發(fā)現(xiàn)，學(xué)生靈機(jī)一動(dòng)感悟到的東西，一定要讓學(xué)生大膽地說出來，敢于去猜，這樣才能邁出研究的第一步.這之后，再利用演繹的方法去從邏輯上去證明，也就有的放矢了.所以，在我們?nèi)粘５慕虒W(xué)過程當(dāng)中，千萬不要把合情推理作為演繹推理的一個(gè)簡短的前奏，很快過渡到所謂的“主旋律”了.

三、組織實(shí)施

教材中教學(xué)內(nèi)容的編排方面，是通過圖形的平移、折疊、旋轉(zhuǎn)等操作活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖形的性質(zhì)，并在這一過程中，使學(xué)生感悟到發(fā)現(xiàn)問題、提出問題.再運(yùn)用觀察、操作、圖形的運(yùn)動(dòng)變化等手段.使學(xué)生體會到運(yùn)用合情推理研究圖形的性質(zhì)往往是進(jìn)行演繹推理探索解題途徑的“源”，而演繹推理的過程只是解決問題的“流”.這樣，學(xué)生對圖形的研究，就經(jīng)歷了發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和分析問題、解決問題的過程.

合情推理與演繹推理的有效融合，跟教師自身對問題的設(shè)計(jì)很有關(guān)系.如果我們只設(shè)計(jì)一些學(xué)生一看就很容易知道結(jié)論的問題，他就會覺得教師設(shè)計(jì)的這個(gè)合情推理環(huán)節(jié)很假，時(shí)間長了就對合情推理的環(huán)節(jié)提不起足夠的興趣.如果我們能夠設(shè)置好問題情境，給學(xué)生一個(gè)很開闊的空間，才能夠讓他們感受到合情推理的價(jià)值和意義所在.比如，在學(xué)習(xí)三角形中位線定理時(shí)，我們可能遇到過這樣的問題——畫一個(gè)任意的四邊形，連接這個(gè)四邊形四邊中點(diǎn)，得到了一個(gè)叫作中點(diǎn)四邊形的圖形.同樣是這個(gè)素材，如果教師讓學(xué)生求證這個(gè)中點(diǎn)四邊形是一個(gè)平行四邊形，學(xué)生很快就會過渡到演繹推理.可如果教師提出一個(gè)更開放性的問題：“同學(xué)們觀察我們新得到的這個(gè)四邊形，你們覺得它的形狀有什么特點(diǎn)，可能是怎樣的四邊形呢？”那學(xué)生可能就要通過很多的手段——直觀的觀察、測量、猜想等一系列手段去思考，而這個(gè)問題又不像一些問題那么膚淺，它確實(shí)有一定的思考空間，真得琢磨琢磨，只有通過觀察、測量、想象才會產(chǎn)生它可能是平行四邊形的猜想，這個(gè)過程就顯得更真實(shí).有了這樣一個(gè)過程，教師進(jìn)而再去提問：“為什么它是一個(gè)平行四邊形？”通過連接對角線的輔助線，構(gòu)造三角形的中位線，運(yùn)用演繹推理逐漸把這個(gè)問題證明了.推理貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，推理能力的形成和提高需要一個(gè)長期的、循序漸進(jìn)的過程.在“圖形與幾何”主線內(nèi)容教學(xué)過程中注重合情推理與演繹推理的有效融合，意義重大而深遠(yuǎn)，需要廣大教師為之做出不懈的努力和探索.endprint