高中生數學學習過程的思考

承彥人

[摘 要] 有效的高中數學教學，一定是基于對學生學習過程的研究的. 函數是高中數學的重要知識，一定程度上代表著學生數學學習的規律所在. 研究學生在函數學習過程中的規律，可以讓教師更好地看清學生的學習過程，可以讓學生的學習更為有效，當然也可以促進教師自身的專業成長. 在經驗積累的過程中借鑒相關的教育理論，可以使教師對學生的學習過程把握得更為清晰與準確.

[關鍵詞] 高中數學；數學學習；學習過程

無論是此前的有效教學的討論，還是現在核心素養及其培養的討論，實際上指向都是一樣的，那就是對學生的指向，但矛盾的是，真正的教學過程中，教師往往又是不太關注學生的學習過程，而是更關注自己的教學過程. 但教學與學習畢竟主體不同，過程也不同，因此從真正有效的角度來看，還是研究學生的學習過程對教師的教學來說更有意義，而事實上這也是“以學定教”的真實含義. 而將教學研究的視角轉移到學生的學的過程中時，可以發現學生的學真的是一個非常復雜的過程，有時即使積累了經驗，也難以從理論上尋找到很好的解釋，這就使得對高中學生數學學習過程的研究出現了一些挑戰，而面對這些挑戰并提出自己的一些樸素觀點，是可以促進教師自身的專業成長的. 本文試以高中函數概念的教學為例，談談一些筆者的淺顯觀點.

[?] 學生真的學懂了函數嗎

筆者曾經做過試驗，在函數知識教完一段時間之后去問學生“何為函數”，而學生的回答則比較一致：他們都是通過舉例，如相對熟悉的一次、二次函數，與高中學的指數函數、對數函數等. 為什么都是用舉例的方式來證明自己對函數的理解呢？

至少從課程、教師的角度來看，對函數的理解不是通過例子來進行的，甚至是在函數概念構建的起始課上，教師也常常是從數學模型等角度引入的，是用集合和對應法則來定義函數的，盡管這與真正的數學意義上的函數理解還有一定距離（教科書的定義方式與學生的學習層次與能力相關），但學生所理解的函數還是脫離了這一基本面，還是從具體的函數例子角度建立理解的. 從某種程度上來講，這也是學習的必然結果，事實上成人的每一個知識的學習其實最牢固的“拋錨”基礎就是例子，因此學生通過例子來闡述自己對函數的理解是必然的. 但這種必然其實又是一種低水平的必然，說明學生并沒有真正把握住函數的基本要義，再加上日常的訓練都是以具體的習題來作為訓練的，不同的習題對應著不同的具體的函數例子，因此對函數的理解水平就定格于這樣的水平，也就是自然而然的結果.

當然，我們又不能認為學生這樣就是不懂函數，因為在函數知識的運用與解題中，學生所形成的關于函數的認識也許是默會的，其也能在學生的生活中發揮作用，這也算是懂函數的；但可以認為，這樣的懂是一種類似于默會的懂，至少從數學知識構建的角度來看，還不是真正的懂. 因為對函數的描述，至少也應當是從一個統一定義的角度進行的，不同的函數的例子應當是這個定義的衍生，建立這種從基本定義向具體事例的發散的函數理解，才是真正的函數理解.

[?] 學生怎樣才能學懂函數

真的從這個角度來讓學生懂函數，并不是一件輕而易舉的事情. 函數其實是高中數學知識體系中最為難懂的概念之一，也是諸多數學知識的發生聯系的重要“結點”. 目前對學生學習函數的心理機制據說研究還不夠深入，已有的理念也多是管中窺豹，但這樣的努力已經足以讓普通數學教師有所收益了.

我國著名數學教育家章建躍先生在引用Schoenfeld等人的研究成果時，提到了知識獲取的四種水平：在模式水平上知識的宏觀結構；知識要素的具體界定、特例分析以及對某些限制條件等——對知識的細節處理；與支持知識的上層結構有關系——對知識聯系性的處理；在超出熟悉情境和個體建構在水平3上看到的概念要素的時候——知識綜合的、創造性的應用.

從學生函數學習的角度來看這四種水平，是可以尋找到比較典型的痕跡的：在函數起初學習的時候，學生是將函數的概念建立在集合這一概念基礎之上的，事實上對應法則在此之前遇到很少，也只有在函數概念建立的時候，才對其有所強調，這就是在有認知水平上的知識建構；其后，一個具體函數的學習，可以讓學生從各個角度、不同要素處構建對函數的理解，這就是對知識細節的處理（實際上學生對函數理解的事例化，就是從此時開始的）；再然后，就是讓學生在各個具體函數的學習中形成一種對函數的整體認知，尤其是對函數定義的理解的深入——這是傳統教學中容易忽視的，因為正常的教學都是向“前”看的，很少有“回頭”反思基本定義的，但這個過程很重要，這是一個通過具體函數事例“反哺”函數基本定義的過程，是讓學生在通過具體事例深化了對函數定義的理解之后形成基本理解的過程，是學生真正懂得函數的深化之舉；而其后的第四步綜合性、創造性地運用，則實際上是一個函數理論聯系實際的過程，傳統教學中已經重視，不贅述.

從這個研究成果角度來看，函數概念的理解應當是建立在概念基礎之上的，也就是說不同函數例子應當是函數這個基本概念的衍生，理解函數應當從函數定義出發，從集合與對應法則出發，從不同函數事例中提取出不同集合與對應法則，才是理解函數的根本.

[?] 教師如何促進學生學習

可以肯定的是，學生在函數學習的過程中，自己是不可能生成讓自己理解函數的情境的，教師應當發揮主導作用. 那基于學懂函數概念的需要，教師如何促進學生的學習呢？筆者的經驗有三：

第一，重視函數概念的最初構建. 事實上，高中階段對函數概念的教學采用過多種定義方式，今天的基于集合與對應法則的函數定義，是描述形式較為簡潔，理解起來較為簡單的一種方式. 可能很少有人意識到，其實函數的定義原本就是對各種具體函數進行了分析綜合，進行了抽象概括后的產物，將這種基于集合與對應法則的函數定義當成整個函數體系知識學習的始祖，是數學課程專家思維的結晶，本來就應當是函數知識體系構建的基點. 但正是因為其太過基礎了，以至于在實際教學中常常忽視了它，再加上與之相關的試題較少也比較簡單，因此實際教學中又進一步忽視了，如此遞進式忽視，學生會引起重視那才是怪事. 而為了讓學生理解函數，筆者以為這里需要矯枉過正，需要真正從源頭處重視函數的教學.endprint

第二，重視具體函數對函數概念的反哺. 在建立了函數概念之后，必然要進行多種函數的學習，這些函數作為在更為具體的情境中集合與對應法則的具體運用，會有特殊的理解，這種理解對于學生而言，實際上是思維的延伸. 但教師要注意的是，在學生思維延伸的過程中需要重視“回頭看”，要能夠讓學生認識到這些具體函數與最源頭處的那個函數的定義有著什么樣的聯系，只有這種聯系被學生建立起來時，學生才能意識到函數的一般性定義與具體情境下的定義的關系. 這實際上是一個上位概念與下位概念的關系，這種從屬關系的建立，是學生理解函數的關鍵.

第三，重視綜合情境中函數概念的創新應用. 數學知識的應用是當前高中數學教學中最為重視的內容了，由于高考導向日趨科學，新的情境尤其是生活情境，常常出現在試題中，這就給學生將函數知識向生活延伸提供了可能. 這種延伸對于學生理解函數來說依然是重要的，尤其是學生在生活情境中發現集合的存在，發現對應法則的存在，發現基于兩者的函數關系的存在，這往往可以給學生理解函數提供有效的錨點，這是符合學生認知規律的，是得到多種不同學習心理理論支撐的.

函數教學在高中數學教學中跨度很大，延續的時間也很長，在這個時間段里讓學生依據上述思路，織起一個關于函數的網（而不是一條線），可以很好地促進學生對函數的理解.

[?] 在關注學習中研究教學

關注學生的學習過程對于教師來說是重要的，尤其是高中數學，忽視了學生在數學學習過程中邏輯的運用，忽視了學生在運用邏輯推理知識的時候用到哪些知識、忘記了哪些知識，都無法真正看懂學生是怎樣學習的. 函數作為高中數學最核心的內容之一，如果教師能夠以之為突破口，最大程度上弄懂學生在學習中的過程，就可以起到突破已有教學思路，抵達新的教學水平的作用.

當然，這個目標的實現可能還有些遙遠，但可以肯定的是，在數學教學中通過對學生學習細節的關注，是可以尋找到學生數學學習的一些基本規律的. 如果在此過程中還能夠尋找到一些教學理論來引導自身的實踐，那更是一件好事. 事實上，認知發展心理學中的相關理論，對于解釋學生的學習過程還是有一定的積極作用的.

總的來說，在關注學生學習的過程中研究教學，確實是一條把握學生學習過程，實現自身專業成長的途徑，沿著這條途徑，是可以窺得高中數學教學的真諦的.endprint