探究數列學習中的遞推公式問題

高千迪

摘 要：本文分析了數列遞推公式的內在含義，并探究由遞推公式求通項公式的辦法。列舉常見的遞推公式形式并給出常見處理方法。歸納總結題目的內在規律，并結合典型例題予以說明。在變化多端的形式中尋找共同規律，從而游刃有余的解決數列的遞推問題。

關鍵詞：高中數學 數列中的遞推問題 常見的遞推形式歸納

一、遞推公式的內在含義

遞推公式反映的是數列前后項an與an+1（an+2）之間的聯系。在知道數列的前幾項的數值和完整的遞推公式時，就可以依次逐步求出整個數列。在實際問題中，往往是只需要求出特定項，并不需要求出每一項，所以往往題目考察的是由遞推公式推導出通項公式。值得注意的一點是，遞推公式蘊含的內在信息要少于通項公式，所以往往要結合前幾項才能推出通項公式。[1]

二、遞推數列問題的解決方法

1.化歸思想

“化歸”簡而言之是轉化、歸結，解題過程中常用化歸的思想方法解決復雜問題。善于運用化歸方法使得我們能夠把復雜的數學問題簡單化，陌生的問題熟悉化，提高做題的速度和準確率。遞推公式問題的形式繁雜，解法多，思路開闊，在解題過程中需要嫻熟的運用化歸的數學思想才能找到解題思路。[2]

2.兩個基本數列

化歸的目的，就是把復雜的遞推數列，轉化形成高中所學的兩個基本數列：等差函數和等比函數，從而借助課內的知識完成目的。

等差數列：a（n）=a（1）+（n-1）×d

等比數列：an=a1qn-1

三、遞推公式的常見形式

1.型如 an+1=λan + c（λ ≠ 1，c ≠ 0）。

——化歸為等比數列求解

假設原來的式子可以寫成（使用待定系數法）a n+1 + x = λ（a n + x），拆開后移項比較即可解出x，從而借助等比數列{a n + x}解出{an}的通項公式。

例1已知數列{an}中，a1=1，an+1=2an+2，求數列{an}的通項公式。

解：由λ=2，得a n+1 + x = 2（a n + x），展開得x=2，所以{an+2}是以3為首項，2為公比的等比數列。所以。

2.型如 a n+1 = λa n + （An + B） （其中 λ ≠ 1）。

——化歸為等比數列求解。

設a n+1 + x（n + 1） + y = λ[a n + xn + y]，同樣展開整理即可的x，y的值，從而借助等比數列{a n + xn + y} 解出{an}的通項公式

3.型如 a n+1 = λa n + Aq n-1 （其中 λ ≠ 1，q ≠ λ ）

設原式可化為an+1 + x·q n = λ[a n + x·q n-1 ]，從而借助等比數列{a n + x·q n-1}求出{an}的通項公式

——化歸為等比數列求解。

例2 已知數列{a n } 有a 1= 1，an+1 = 3an +2n ，求通項a n 。

解： 設 a n+1 = 3a n + 2 n 可變形為a n+1 + x·2 n = 3[a n + x·2 n-1 ] （* ）

與已知條件比較，得x = 2，這時（*） 為a n+1 + 2 n+1 = 3（a n + 2 n ） （**）

換元 bn = an + 2n，可知{b n } 是等比數列且公比 q = 3，a n = 3 n -2n

4.型如 a n+1 = r（a n ）λ （r > 0）

設原式兩邊取對數可得lga n+1 =λlga n + lgr，這類似于第一種情況，按前面的方法處理即可。這類問題充分體現了化歸的思想，遇到陌生的問題，先化成遇到過的熟悉的形式，然后再將熟悉的形式二次化成運用課內知識能夠直接解決的形式。

5.型如：——轉化為等差數列。

取倒數后設（換元法），知

所以{bn} 是等差數列，且公差為.所以。

例3在數列{an}中，a1=1，，求通項公式an。

解：取倒數，設，所以bn+1=2bn+2n，所以{bn+2n+2}是公比為2的等比數列，b1+2+2=5，所以bn+2n+2=2n-1×5，所以bn=2n-1×5-2n-2

由此可得{an}的通項公式。

6.型如，其中{cn } 是等差（或等比） 數列——轉化為等差或等比數列求和

原式兩邊同除n+1，得換元，將{bn}當做新數列，則bn+1=bn+cn，這是一個類等差（等比）數列，因為cn是等差（等比）數列，運用其求和公式累加即可得出bn的通項公式。

7.型如 a n+1 = f （n）·a n +[1 - f （n）]

——使用疊乘法或疊加法

原式可變形為 a n+1- k = f （n）·（an - k），換元 b n = a n - k，得 b n+1 = f （n）·b n ，取 n = 1，2，3，…，（n - 1），疊乘法得 b n ，進一步知 a n .

結語

遞推公式能考察學生思維的嚴密性和靈活性，題目雖然變化多端，但終有規律可尋。一是要注意運用化歸思想，通過轉化變形借助本文分析的兩個基本數列進行處理，這里要求靈活使用換元法，待定系數法，取倒數等手段進行處理；二是要熟悉本文羅列的常見遞推形式，做到胸有成竹，思路清晰，明確解題的目標方向。三要看清問題的要求，遞推公式不僅僅用于推導通項公式，它的內涵是提供了數列前后項間的關系條件，不要形成定勢思維，看到遞推公式就只有化成通項公式的意識，要根據具體要求具體分析。[3]

參考文獻

[1]李萍，張孝梅《多題歸一在求數列通項公式中的運用與拓展》[J]延邊教育學院學報，2016，（06）：127-129

[2]侯作奎《探求數列遞推公式的若干途徑》[J].中學數學雜志，2015，（07）：29-31

[3]孟瑩《由常見遞推公式給出的數列求通項的辦法》[J].數學教學與研究2016，（56）：73-74