現代金融學中的數學方法

摘 要：嚴密而精確的數學方法在現代成熟的科學門類中得到了廣泛的運用，并深入地促進了金融學的蓬勃發展。金融學的持續進步離不開數學方法的推動，但數學工具在金融學的運用也不可避免地存在局限性。本文介紹了金融學研究引入數學方法的必要性與現狀，分析其局限與不足，并探討了二者融合發展的趨勢。

關鍵詞：金融學；數學方法；金融趨勢

隨著金融學科的日漸成熟和金融市場的逐步拓展，數學越來越緊密地嵌入金融領域。實踐證明，數學必將在金融領域中發揮越來越大的作用，然而期冀數學方法解決一切金融問題的想法也是不夠現實的。就金融數學的發展前沿來看，數學與金融學進一步的深入融合將是大勢所趨。

一、 現代金融學常用的數學方法

當前影響依然重大的數學方法主要有：有效率市場理論，證券組合理論，資本資產定價模型。

（一）有效率的市場理論

該理論由羅伯茨和法馬提出，其含義是市場可以迅速準確地反映出所有可供使用的信息。該理論引入了鞅過程從數學上研究信息和金融風險的關系。但市場是否有效，或者說高效低效，更多只是程度問題。這一假設被一些學者認為存在自相矛盾：市場效率是有成本的投機套利活動的產物，同時市場的有效性導致投機套利將無利可圖。可是一旦無利可圖投機套利活動自然失去動力，而停止投機套利活動后又怎么繼續保持市場的有效率性呢？恰是投機套利活動使得價格更有效率。同樣，市場主體可以通過創新活動來利用市場的無效率，創新活動又可以使市場更有效率。恰是這一矛盾統一體的不斷變化，使得金融市場呈現出統計意義上的周期性。

（二）證券組合理論

金融市場中存在哪些風險，其大小如何確定，期望收益最大化、不確定性最小化如何實現，歷來是焦點難點問題。實踐發現，有機的投資組合可以減輕市場風險帶來的可能損失。馬科維茨借助概率論、規劃論創立了證券組合理論，使得市場風險逐漸可以預見和駕馭。該理論的立足點在于全面考慮收益最大和風險最小，運用概率統計方法發現投資者應按適當比例同時購入各種證券來進行分散化投資，從而獲取確定的投資收益。

（三）期權定價方程

該理論由布萊克和斯科爾斯提出，他們通過求解隨機微分方程利用市場套利條件導出了到期月之前的期權價格精確公式。該模型需滿足6個假設前提：歐式期權、股票不付股息、無風險收益率為常量、無交易成本和稅收限制、標的資產隨機價格服從幾何布朗運動、面向貿易市場連續開放。該方程對于制定金融衍生品價格具有重要指導價值，也是數學方法在金融領域應用的重要成果。

二、現代金融學運用數學方法的局限性

數學方法在金融學研究中發揮了巨大的作用，但將數學分析手段當做證明金融認識結論完備性的唯一途徑的觀點卻是極其片面的。

非經濟因素制約了數學方法的分析作用。金融學的研究對象極其繁瑣，其中有些具有不易量化、極其復雜的特征，也容易受到多種非經濟因素影響。而數學模型只能有條件地、相對地把握現實因素，其運用前提只能建立在一系列可計量化假設的基礎之上，一旦假設同現實金融狀況中的若干因素不相吻合，數學模型便無法發揮分析作用。

應用數學方法的目的不明確導致過猶不及。數學語言發揮積極作用的前提是比其他表述語言更為精簡、洗練，如果某一金融現象可以用更好地方式表述，就不宜過于依賴數學語言。

金融市場發展日新月異，金融體制的監管與金融風險的控制只能依托持續的金融創新與改革深化。這要求要求我們以系統科學的研究觀點來提升金融學理論的計算機化、數學化水平，用數學模型表述市場系統本質，用計算機技術實現選擇方案最優化，進而保持金融市場系統的經濟性、有效性、合理性，因此我們務必走出對數學方法的盲目崇拜，將其放在合適的研究位置上。

三、現代金融學運用數學方法的發展趨勢

為滿足金融領域的發展需要，在中外諸多專家學者的努力下，金融數學取得了深遠的發展，其內容日益豐富且發展迅猛。本部分謹就其發展趨勢做簡要綜述：

（一）隨機最優控制理論

該理論于近期得到長足發展，主要用于解決金融領域中某些帶有隨機性的問題，其主要手段是貝爾曼最優化原理、測度理論及泛函分析方法。這一數學工具在六七十年代取得突破后，被經濟學家迅速吸收，用于解決消費和資產組合、不確定情況下經濟最優增長等問題。其后逐漸被多數金融經濟學領域所應用。

（二）鞅理論

假定金融市場市場具備有效性，可以通過引入鞅理論來借助等價鞅測度方法研究衍生證券定價問題，使得證券價格等價于一個鞅隨機過程。這一結果不但深刻揭示了金融市場規律，還能提供一整套有效算法來求解金融衍生品的定價及風險管理等問題。此外，還可以較好解決不完備市場下的衍生證券的定價問題。這一定價理論在金融領域中取得了突破進展，并占據了主導地位。遺憾的是，在國內著述尚少。

（三）脈沖最優控制理論

由于證券投資決策中交易速率并非有界且改變并不頻繁，連續時間隨機控制問題雖然可以通過近似方式更加容易地處理問題，但其結果旺旺與實際仍有較大出入。為解決這一局面，脈沖最優控制方法應運而生。

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作者簡介：

楊心遠，重慶市育才中學。