數學化歸思想在中學數學中的應用案例

姚廷監

【摘 要】數學思想方法反映著數學觀念、原理及規律的聯系和本質，是培養學生學習能力的橋梁。化歸思想就是把待解決的問題通過轉化過程，歸結到已經解決或比較容易解決的問題中去，最終求得原問題之解答的一種手段和方法。化歸思想是初中數學中一種常用的重要的數學思想，它能使問題化繁為簡，化難為易，提高學生的綜合解題能力。文章從化歸思想的特性出發，結合具體案例進行分析并提出了培養學生化歸思想的有效策略。

【關鍵詞】中學數學；化歸思想；案例研究

數學思想方法反映著數學觀念、原理及規律的聯系和本質，是培養學生學習能力的橋梁。在數學中，我們通常采用化歸思想方法，提高學生分析問題和解決問題的能力。化歸思想，是解決數學問題的一種重要思想，它貫穿于整個數學。對初中學生來說，能熟練、靈活運用這一方法，可減輕不少負擔，更會因此而愛上數學。因此，化歸思想為提升學生解決問題的能力，培養學生的數學素養發揮著重要的作用。

一、化歸思想的特性

（一）設計化歸目標，確保化歸實效

化歸作為一種思想方法，包含了化歸的目標以及化歸的方法和途徑三個要素。因此，化歸思想方法的實施應有明確的對象，要設計好目標，選擇好方法。而設計目標是問題的關鍵。設計化歸目標時，要把要解決的問題化歸為規律問題，同時還要考慮到化歸目標的設計與化歸方法的可行性、有效性。

（二）力求等價性，確保邏輯正確

化歸包括等價化歸和非等價化歸。中學數學中的化歸多為等價化歸，等價化歸要求轉化過程中的前因后果既是充分的，又是必要的，以保證轉化后的結果為原題的結果。

（三）注重多樣性，研究轉化方案

在轉化過程中，同一轉化目標的達到，往往可能采取多種轉化途徑和方法。因此研究設計合理、簡單便捷的轉化途徑是十分必要的，必須避免什么問題都生搬硬套的方法，以免造成繁難不堪。

二、化歸思想在數學教學中的應用案例

（一）把新問題轉化為舊問題

把新的問題轉化為熟悉的問題，運用學生熟悉的知識、經驗和問題來解決。同樣，能將待解決的新問題化歸為一個比較熟悉的問題，就可以將已知的知識和經驗用于面臨的新問題，以此激發學生的學習興趣，活躍學生的思維，那么就更有利于問題的解決。

例如，教材中解二元一次方程是通過降次化歸成一元一次方程；解二元一次方程組或三元一次方程組是通過消元化歸成一元一次方程或二元一次方程組；解分式方程是化歸成整式方程；異分母分數的加減法，通過通分轉化成同分母分數的加減法；多邊形的內角和問題轉化為三角形的內角和來解決；梯形的中位線問題轉化為三角形的中位線來解決。這些問題都是通過化新問題為舊問題，從而使問題得以解決。

（二）特殊問題與一般問題的轉化

特殊問題與一般問題的轉化是數學化歸的常用方法之一，其主要是利用學生學過的各種知識和數學的整體統一思想，將碰到的難解決的特殊問題轉化為一般的知識點，或將一般的問題轉化為特殊問題，然后通過套用公式或定理等解決問題。

例如：如圖，已知兩個半圓，大半圓的弦AB與小半圓相切，且AB∥CD。AB=6cm，求圖中陰影部分的面積。

（三）化代數問題為幾何問題

化代數問題為幾何問題，即為數形結合。我們往往把函數、方程、不等式等代數形式中的量與量的關系，與幾何圖形的位置關系相結合，以形論數或以數論形。因數能入微，形可直觀，二者結合起來能使隱含的條件明顯化，使抽象的概念形象化，使繁雜的運算簡捷化，最終靈活、直觀地解決問題。

三、化歸思想在數學教學中的運用策略

（一）注重基礎知識，完善知識結構

具有扎實的基礎知識、掌握完整的知識結構是實現化歸的基礎。教學實踐告訴我們，區分數學優等生與差生的第一標準就是基礎知識及知識結構掌握的程度。教師在教學過程中要夯實基礎、完善知識結構，重視概念、公式、法則等基本數學模型的教學，為尋求化歸目標奠定基礎；養成整理、總結數學方法的習慣，為尋求化歸方法奠定基礎；完善知識結構，為尋求化歸方向奠定基礎。

（二）培養化歸意識，提高轉化能力

數學各部分之間的相互聯系、相互依存、相互滲透，使之構成了縱橫交錯的立體空間，我們在研究數學問題的過程中，常需要利用這些聯系對問題進行適當轉化，使之達到簡單化、熟悉化的目的。要實施轉化，首先須明確轉化的一般原理，掌握基本的化歸思想和方法，并通過典型的問題加以鞏固和練習。因此，在平時的教學中，我們不斷教會學生解題，通過仔細地觀察、分析，由問題的條件、圖形特征和求解目標的結構形式聯想到與其有關的定義、公式、定理、法則、性質、數學解題思想方法、規律以及熟知的相關問題解法，由此不斷轉化，建立條件和結論之間的橋梁，從而找到解題的思路和方法。

（三）深入數學教材，反復提煉與總結

在數學教學中，要善于挖掘教材中蘊含的化歸思想方法，注意不斷總結化歸法解題的一般原理，提煉其中蘊含的思想方法，把化歸思想方法的教學融于各個環節之中，讓學生切實感受到化歸思想方法的存在形式及其發揮的作用。在概念形成、運用的過程中滲透化歸思想；在定理、公式的探究和發現過程中深化化歸思想方法；在問題解決過程中領悟化歸思想方法；在知識的歸納總結過程中概括化歸思想方法。在教學過程中讓學生逐漸悟出數學中常常把新知識轉化為已有知識、把一般轉化為特殊的解決問題的思路和方法。

總之，在數學教學中，教師要重視數學思想教育，特別是化歸思想在數學課中的運用，發揮其功效，從而培養學生的創新能力和實踐能力。在初中數學教學中，要讓學生知道知識的產生與發展的過程，應盡力向學生滲透化歸思想，培養學生運用化歸思想的能力，充分發揮化歸思想方法的指導作用。對學生進行化歸思想的培養，其目的就是讓學生形成良好的思維品質，讓學生能接受扎實的素質教育和創新教育，讓學生健康、全面地發展。