初三幾道模擬試題的命制與思考

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(無錫外國語學校，江蘇 無錫 214031)

初三幾道模擬試題的命制與思考

●張濤

(無錫外國語學校，江蘇 無錫 214031)

文章以初三幾道模擬試題的命制過程為例，淺談試題的命制歷程和思考感悟，以期引發同行加強命題的研究，精選符合課標要求的試題，深層改編有價值的題目，注重命題的導向，反復打磨試題.

模擬試題；命題過程；命題感悟

《2017年江蘇省無錫市初中數學中考指導意見》明確指出：數學學科中考，具有初中畢業合格考試和高級中等學校選拔性考試兩重性質，既是對學生在初中階段所學數學知識和數學方法的全面考查，又為高級中等學校選拔錄取新生提供依據.因此，考試既要有基礎性，又要有一定的區分度.而一模考試又是中考復習階段的第一次模擬演練，具有仿真性、診斷性、導向性等特點，因此命題者必須思考如何遵循課標、緊扣教材、貼近中考、合理控制難度，保證區分度和信度，并進行適當創新.筆者結合近期幾道模擬試題的命制經歷，談談試題的命制過程和感悟思考.

1 試題選編

選題一般來源于教材、教輔、模擬題、中考題，要求題目符合考試范圍和課程標準.為了體現考試的公平性原則，部分試題還需要改編或原創.

1.1 精選原題

例1若一個多邊形的內角和是1 080°，則這個多邊形的邊數為

( )

A.6 B.7 C.8 D.10

說明此題來源于課本習題，考查多邊形的內角和公式，屬于容易題.選擇此題主要有兩個目的：一是檢測學生基礎知識是否過關，引導師生重視教材，重視四基；二是激勵學生，增強學生的信心，克服對考試的恐懼心理.

例2二次函數y=-(x-1)2+5，當m≤x≤n且mn<0時，y的最小值是2m,最大值是2n,則m+n的值為

( )

說明此題是2016年浙江省舟山市的數學中考題，主要考查二次函數的最值問題、二次函數的增減性和分類討論的思想，考查基礎知識、思想方法和能力素質，對學生能力要求較高.從閱卷情況來看，本題起到了很好的區分效果.

1.2 推陳出新

( )

說明本題是由一道中考模擬題(例4)改編而來，原題內涵豐富，解法多樣，是一個經典問題.

圖1 圖2

(2013年黑龍江省哈爾濱市松北區二模數學試題第20題)

深入探究，筆者發現，例4可進行一般化推廣和多種變式，如：

筆者選取了變式2為背景，在適當賦值和調整圖形后，得到了例5，考慮到此題的難度，將它作為選擇題的壓軸題.

例5如圖3，矩形OABC的3個頂點O(0,0)，A(0,5)，C(7,0),P是邊AB上的一個動點，將△OAP沿著OP翻折到△OA′P.

2)若點A′恰好落在∠BCO的角平分線上，求點P的坐標；

說明本題的問題背景取自例6.

圖3 圖4

例6如圖4，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是邊CD上一點，將△ADM沿直線AM對折，得到△ANM．

1)當AN平分∠MAB時，求DM的長；

2)聯結BN，當DM=1時，求△ABN的面積；

3)當射線BN交線段CD于點F時，求DF的最大值．

(2016年福建省福州市數學中考試題第26題)

原題在平面幾何的背景下，讓圖形動起來，前2個小題屬于“特殊性”的考查，第3)小題則是對“一般性”的考查，3個小題設問簡潔，層層遞進.筆者對原題的改編經歷了如下的思考：

第2)小題，仍從一個特定情況進行考查，初步選擇了如下7個位置：如圖3，①點A′恰好落在邊OB上；②點A′恰好落在邊AC上；③點A′恰好落在邊PC上；④點A′恰好落在邊AB的垂直平分線上；⑤點A′恰好落在BC的垂直平分線上；⑥點A′恰好落在∠B的角平分線上；⑦點A′恰好落在∠BCO的角平分線.任選以上一個作背景，都能考查學生利用相似三角形、勾股定理解決問題的能力，最終筆者選擇⑦作為條件，旨在啟發學生思考出現兩個解的原因，探究點A′的軌跡是以O為圓心、OA為半徑的圓弧，∠BCO的角平分線與圓弧有兩個交點，為解決第3)小題作鋪墊.本質上，第1)和第2)小題都是考查邊AP長度的求法，為了體現設問的多樣性，問題分別以“求△OAP的面積”“求點P的坐標”的形式呈現.

第3)小題，與原題風格保持一致，考查最值問題，學生可以從點A′的軌跡出發進行解答.原題考查相切的特殊位置，筆者則從“垂線段最短”的角度考查最小值問題，將圖形架構到坐標系中，從而給出直線的解析式.

1.3 打磨原創

說明為了保證試卷的區分度與信度，筆者打算編制一道壓軸的填空題.首先，筆者確定了題目基調：以函數為背景，有特殊角，能考查方程、函數、數形結合等思想，考查學生基本數學素養.于是，試題的原始方案應運而生.

初稿A,B是y=-2x+4圖像上的兩個點，A(1，2)，O為原點，若∠AOB=45°，則點B的坐標是______.

從命題意圖上看，初稿基本可取.初稿的答案有兩個，需要討論點B在點A的上方、點B在點A的下方兩種情況.由于兩種情況中點B坐標的求法完全相同，本題的考查重點并不是分類討論，且全卷中已有兩處考查到分類討論的思想，因此又將題目進行了兩次改編，得到例7.定稿中角度改為135°，增加了對學生轉化能力的考查.在試做過程中，發現從不同角度切入都可以解決問題.比如：

從而

設B′(3m,m),則

解得

圖5 圖6

當然，這里也可以通過格點圖來求tanβ(如圖6所示).

解得

圖7 圖8

解得

事實上，此題還可以通過構造一線三等角、母子型相似等方法求解，限于篇幅，不再贅述.需要指出的是，不同的解題思路，不同的切入角度，體現了不同的思維層次，帶來了不同的解法，有繁有簡.因此，該題在一定程度上也是對不同思維分析推斷方法的考查[1].可以說，本題入口較寬，方法多樣，有一定的探索性，基本達到了命題意圖和考查目標.當然，筆者還希望通過本題傳遞這樣的教學導向：在教學過程中，要多給學生探究的時間和空間，讓學生經歷數學知識的發現、形成過程，參與到尋求解題思路、優化解題方法的過程，并引導學生感悟數學思想、積累解題經驗，注重培養學生的發散思維和創新意識.

例8三月春盛，十里桃花，白真與折顏圍棋對弈，假如白真、折顏每局比賽輸贏的機會相同，且白真已經贏得了第1局，假定比賽中不出現平局.

1)若兩人之間共進行3局比賽，3局比賽須全部比完，贏滿2局的人即獲勝，請用樹狀圖分析折顏最終獲勝的概率；

2)若兩人共進行7局比賽，7局比賽須全部比完，贏滿4局的人即獲勝，請直接寫出折顏最終獲勝的概率.

說明此題的初稿如下：小張和小錢兩人進行圍棋比賽，假如兩人每局比賽輸贏的機會相同，且小張已經贏得了第1局，兩人之間共進行5局比賽，5局比賽須全部比完，贏滿3局的人即獲勝，請用樹狀圖或列表分析小張最終獲勝的概率.

初稿以圍棋比賽為背景，主要考查利用枚舉法(列表、畫樹狀圖)來計算概率，但有如下幾個問題：首先，符合題意的樹狀圖有4層，而考試中，一般不考查超過3層的樹狀圖；其次，考生可能產生這樣的疑慮：圍棋比賽中是否需要考慮平局的情況；最后，題目略顯單薄，缺乏新意.

回顧近幾年的江蘇省無錫市數學中考卷，筆者發現概率命題已經形成一些穩定的風格：背景多樣，構思精巧，富有創意，在考查利用枚舉法(列表、畫樹狀圖)來計算概率的同時，也經常會在第2)小題中設計一些創新題，需要學生理解情境，深入思考，靈活求解.

于是，筆者保留了圍棋比賽的情境，在題干中加上“假定比賽中不出現平局”，使題目更加嚴謹.重新設計了兩個小題：第1)小題考查學生利用兩層的樹狀圖計算概率；第2)小題要求學生考慮7局4勝的賽制下的獲勝概率.顯然，若學生仍利用樹狀圖分析第2)小題，則會耗費大量的時間和精力，一不小心就會得到錯誤的結果.這就要求學生能對獲勝的情況進行合理分類，并且明確：在等可能條件下，事件A發生的概率是事件A發生的結果數與所有可能發生的結果數之比.最后，將初稿中的人物改成了深受學生喜愛的影視人物，以增強試題的趣味性，緩解學生考試緊張的情緒.

2 思考感悟

回顧一模試卷的命制過程，筆者有幾點感悟，與大家分享.

2.1 精選試題，應符合課標要求

現在的教輔資料豐富，網絡技術發達，獲得試題資源變得越來越容易，但題目質量參差不齊.因此，命題者需要仔細甄別，精選出其中的好題.一般來說，選題應主要來自教材習題、中考題、中考模擬題，以確保題目質量.選題必須符合《課程標準》的要求，貼近本地中考試題的命題特點.選題數量應比最終確定的試題數量多一些，以備結合考點統計表進行篩選.

2.2 深層改編，應體現診斷價值

選取好題進行改編是命題的常用手段.如果僅僅簡單地改變原題中的數據、背景等，雖然確保了試題的命制方向不會出現大的偏差，但會造成試題陳舊、考查角度單一等問題，在一定程度上喪失了對知識技能掌握程度的診斷.因此，命題時應盡可能地深入改編，多角度、深層次地考查學生對知識技能的掌握程度，體現出一模考試的診斷功能.

2.3 注重導向，應彰顯原創精神

試題若只是挑選或改編原題，則成了“拿來主義”，因此作為試卷亮點的原創題是必不可少的.事實上，原創題也是命題者價值取向的完整體現.命制原創題需要認真構思試題的教學導向，是導向重視某個核心概念的教學，還是導向形成建構主義教學觀或是導向培養學生應用意識、創新意識等等.這對后續教師的教學、學生的學習都會產生重要的影響.

2.4 反復打磨，應追求簡潔自然

從上文的命題過程可以看出，筆者經歷了充分的思考，對試題進行了反復的打磨和優化.首先，命題者需對試卷反復審核，字斟句酌，以避免爭議，杜絕科學性的錯誤；其次，試題的打磨應追求簡潔明了，曉達通暢.本次一模卷共28題，但只有約1 800個字符，其簡潔性可見一斑.章建躍教授曾指出：好的題目應該簡潔好懂，自然生長.因此，在命制綜合題時，還要思考如何使各個小題之間富于關聯，自然生長，問題之間不能毫無聯系，東拼西湊.

總之，命制好的試題，需要命題者平時注重積累，苦心經營，對試題精益求精，不斷雕琢.最后，引用屈原《離騷》中的一句話與命題愛好者們共勉：路漫漫其修遠兮，吾將上下而求索.

[1] 周偉揚.初中學業考數學試卷命制的著眼點——以2013年紹興市初中學業考數學卷為例[J].中學教研(數學),2013(9):47-48.

2017-10-18

張 濤(1992-)，男，江蘇泰州人，中學二級教師.研究方向：數學教育.

O123.1

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1003-6407(2017)12-39-04