老樹新枝又一春
——2017年浙江省數學高考立體幾何解答題閱卷有感

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(杭州第七中學,浙江 杭州 310024)

老樹新枝又一春
——2017年浙江省數學高考立體幾何解答題閱卷有感

●葉啟墾

(杭州第七中學,浙江 杭州 310024)

2017年浙江省數學高考立體幾何解答題立意平穩，有效創新，注重核心素養的考查,具有良好的區分度.文章通過對該卷中立體幾何解答題的解法探究及答題情況分析，提出在平時教學中應該注重培養學生的答題策略.同時，在新高考形式下的數學復習教學更應重視完善雙基，突出數學本質，實現思維回歸.

數學高考；立體幾何；答題策略

2017年浙江省數學高考已塵埃落定.這是30多年來浙江省數學高考第一次以文理合卷的形式呈現.試卷起點較低，循序漸進，同時順接而下，延續著幾年來數學高考卷的追求，“重思維，重本質”，整卷合乎文理合卷后的特點，凸顯“文之韻，理之味”.

筆者有幸參加了2017年浙江省數學高考閱卷，親身感受著：一張試卷承載著國家所賦予的神圣責任，一分分數寄予著千萬學子的殷切希望.下面就以第19題為例，試圖以一窺全，同時也談談個人的反思與體會.

圖1

1 試題賞析

題目如圖1，已知四棱錐P-ABCD，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E為PD的中點．

1)證明：CE∥平面PAB；

2)求直線CE與平面PBC所成角的正弦值．

(2017年浙江省數學高考試題第19題)

該題考查了直線與平面平行以及線面所成角問題，背景非常熟悉，而且設問方式常規，與2016年12月的浙江省模擬卷吻合，屬于意料之中的題型.命題者希望通過這種類型問題的考查，檢測考生的幾何空間感以及邏輯推理、直觀想象、數學運算等數學學科核心素養.而且設問從基礎出發，層層遞進，梯度合理，兼顧原有文理生之別.兩個小題之間又存在合理的邏輯關系，證明平行關系為尋找線面角鋪設了道路.總的來看，該題彰顯學科特色，有效創新，注重核心素養的考查.

不過，從閱卷的實際情況看，試題難度預計有一定的偏差，具有良好的區分度.本題的平均得分為8.39，除去0分試卷后平均得分為9.08，難度系數為0.56.而2016年的立體幾何解答題，理科全省平均分為10.89，難度系數為0.72；文科平均分為8.66，難度系數為0.58[1].可見，這份高考卷中立體幾何結構梯度自然，對不同基礎、不同能力水平的學生都提供了適當的思考空間，體現了較好的區分度，凸顯了試卷的選拔功能，同時難度總體是有所提升的.當然，到底是這道題本身的相對難度提升了，還是新高考下學生整體水平有所下降，值得我們進一步研究與思考.

2 解法探究

本題滿分15分，其中第1)小題6分，第2)小題9分.

圖2

2.1 第1)小題解法探究

證法2(面面平行)如圖3，取AD的中點N,聯結EN,CN,則CN∥AB,EN∥AP,從而面CEN∥面PAB，于是CE∥面PAB.

圖3 圖4

圖5

2.2 第2)小題解法探究

解法1(幾何法)如圖5，分別取BC，AD的中點M，N,聯結PN交EF于點Q，聯結MQ．因為E，F，N分別是PD，PA，AD的中點，所以Q為EF的中點，即在BCEF中，

MQ∥CE．

由△PAD為等腰直角三角形，知PN⊥AD；由DC⊥AD，N是AD的中點，知BN⊥AD，從而AD⊥平面PBN.又BC∥AD，于是

BC⊥平面PBN，

進而可知平面PBC⊥平面PBN．

圖6

解法2(空間向量坐標法)如圖6，取AD的中點O，聯結BO,PO,易知PO⊥AD,BO⊥BC,從而

PO⊥BC,

于是BC⊥平面POB,進而PB⊥BC.設BC=1，則

從而二面角P-AD-B的平面角∠POB為120°.

評注從閱卷情況看，采取空間向量建系的方法最容易得分，根據建系位置的不同，得到向量的坐標有些許區別.

圖7

解法3(等體積法)如圖7，過點E作EO⊥平面PAD,聯結CO,則∠ECO就是直線CE與平面PBC所成的角.

由等體積法得點D到平面PBC的距離為1,因為E為PD的中點，即

所以

3 答題情況分析

總之，從數學核心素養的角度看，本題的答題情況反映出以下幾個問題：

1)直觀想象是數學核心素養的重要組成部分，良好的直觀想象能力有助于學生深刻體會數學的創造過程，形成嚴謹的邏輯思維能力.而從本題的答題情況看，學生的直觀想象能力總體相對較薄弱，立體空間感較差，不能正確把握圖形結構.當然，審題馬虎也是問題之一.

2)運算能力作為學生學習數學的基礎，是構成數學抽象結構的基本元素.而學生在求解過程中表現出運算能力較弱，從而導致計算失誤，特別是坐標的求解有很大問題.

3)數學證明、概括的表述自有學科特殊的語言體系、特定的符號體系——數學語言體系,這種表述形式應貫穿于數學證明、解答過程的始終[2].可以說，學生解題的過程正是數學語言的呈現過程.而在本題的解題過程中，不少學生存在語言表述不清、邏輯混亂的情況，答題不規范，隨心所欲——隨意刪除、字跡潦草，這些應該是平時不夠重視的結果.

4 基于評分原則下的答題策略

評卷者應該如何科學評卷呢？筆者認為：應該與命題者的最初命題意圖保持一致，只有真正做到科學地評卷，才能實現命題者最初命題考查的目的，才能對我們的教學進行有效地引導.本題通過立體幾何題考查學生的數學思維方式與計算能力，評閱過程中也盡可能體現“重思維，重本質”的意圖，因此，嚴格控制解答題的評分誤差，是提高考試信度的保證.因此，作為評卷者應該遵從以下評分標準原則：1)解答方法的普遍性；2)采分點符合知識點與關鍵表達、結論的必要性和充分性；3)分值向能力傾斜原則；4)不同解答方法的等值性；5)表達文字、邏輯語言規范性[3].只有正確執行落實這些基本評卷原則，才能進行有效閱卷，做到公平公正.

基于以上評分標準原則，在教學中應該讓學生形成以下幾點答題策略：

1)踩點給分，關注的是學生的思維過程.學生在解題過程中所呈現的思維過程就成了評分的主要得分點.

以本題的第2)小題為例，在評卷過程中，3種常見解法的評卷給分點確定如下：

①幾何法：找準哪個角就是所求的角；正弦值的比例關系；計算結果.

②坐標法：如何建立空間直角坐標系——關鍵在于有建系的思想；向量以及平面法向量的正確求法和表述；所求角與向量夾角之間的聯系——向量的內積公式.

只要能表達出解題的思維過程，就是得分點.而一道題所涉及的主要概念和公式正是思維呈現的主要形式.因此，不能因為一道題不能解答，就放棄表達自己的思維過程.總之，有論證表達的過程，總比沒寫好；有解題思路比沒想法好.

2)等值性，即關注給分的合理性.數學往往有多種解法，多種解法之間要有一定的平衡，相應的步驟會給出相應的分數值.而學生在解答過程中提供兩種方法是不會重復給分的，擇高給分.因此，在考試答題時，應利用好有限的時間作答.

3)表達文字、邏輯語言規范性.數學的語言表述，反映出學生數學的邏輯能力與水平.因此，在答題時，字盡量寫端正，更重要的是整個解答結構要整潔、清晰，更不要輕易涂改.

5 新高考形勢下的數學復習策略

1)回歸教材本身，完善雙基結構.從這樣一份表述簡潔、立意精準的卷子可見，日常的課堂教學，特別是高三數學復習要落實學生的基礎知識、基本技能.核心素養的培養并不排斥基礎知識、基本技能的落實與掌握.雙基是教學活動正常施行的載體,也是學生數學思維訓練的工具.沒有了雙基，基于核心素養的教學活動就成了無源之水；沒有了雙基，基于數學思維的數學解題也就成了無本之木.而且，從近幾年的高考試卷看，命題者越來越注重對概念的準確理解的考查以及基本圖形結構的準確把握，因此，在高考復習中，有必要形成準確、系統的知識結構，從而讓學生掌握得更扎實.當然，每個學生的基礎薄弱點都有所不同，需要有針對性地進行訓練與輔導.

2)突出數學本質，實現思維回歸.高考畢竟不是學考，有一定的選拔性，不同層次的高校需要不同層次的生源.近幾年的數學高考都延續著“重思維，重本質”的特點.因此，關注數學本質，著力于提升學生的數學核心素養，才是真正的教學之道.而要突出數學本質，需要挖掘一個概念背后的來龍去脈，需要理清一個方法的真正意義，而非停留在簡單地重復操練與粗暴記憶上.平時的復習要注意思維的訓練，每完成一道題后教師都能指導學生再反思：本道題重要的步驟是什么？平時要注意解題的規范化，這本身就體現了學生數學思維的嚴密性，平時考試的批改可以適當給正確思路的分數，以訓練學生不留空白的解題習慣.

同時，不猜題，不押題，深刻解讀和領會當年的考試說明，研究當年的高考模擬卷，以真正理解命題者的意圖.這樣，才能知道“從哪里來，到哪里去”，有的放矢.

3)關注通式通法，滲透巧解妙解.“重思維，重本質”的高考命題方向，在解題方法的考查上也更注重通式通法.以本題為例，基本的幾何法、常規的輔助線添加法、空間直角坐標建系都是平時應重點訓練的方法.因此，在平時的教學中，可以通過變式練習，加強通式通法的訓練.當然，通式通法并不排斥巧解妙解,特別是在解決選擇題、填空題時，往往不必“小題大做”，而應該追求解題的效率.另外，準確合理的數學語言表達是學生順利掌握一種方法的基本呈現方式，在平時的課后反饋中要及時糾正解題過程中出現的邏輯混亂的語言表述.

[1] 盧明．一樣的風景 更高的要求——2016年浙江數學高考立體幾何題評析[J]．中學教研(數學)，2016(10)：26-31．

[2] 朱偉義，曹鳳山.大道至簡 悟者天成——2016年浙江省數學高考試題簡析及有關高考復習的思考[J].中學教研(數學)，2016(8)：36-39.

[3] 陳子志.體會高考國家統一命題的基本原則與評分參考標準[DB/CD].http://www.china.com.cn/education/2016-01/14/content_37576927.htm,2016-01-14.

2017-09-29

葉啟墾(1976-)，男，浙江杭州人，中學高級教師.研究方向：數學教育.

O123.2

A

1003-6407(2017)12-35-04