對2017年全國卷Ⅰ立體幾何解答題的探究

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(興寧市第一中學，廣東 興寧 514500)

對2017年全國卷Ⅰ立體幾何解答題的探究

●藍云波

(興寧市第一中學，廣東 興寧 514500)

文章以2017年全國數學高考卷Ⅰ立體幾何解答題為研究內容，從試題欣賞、解法探究、教學反思3個方面進行了深入地剖析，從而為以后的數學高考備考提供一定的借鑒作用.

高考試題;立體幾何;一題多解;教學反思

自2016年起，廣東省數學高考結束了多年的自主命題模式而加入全國卷.相比廣東卷，全國卷的試題難度相對較高，因此對廣東考生而言，普遍感覺難度較大.如何適應新高考形勢是教師必須要認真面對的課題.研究全國卷高考試題是教學研究的重要途徑與手段，通過研究真題，可獲知全國卷的命題要求、方向、風格，從而制定切實可行的高效課堂教學方法.筆者對2017年全國卷Ⅰ立體幾何試題進行分析，談談該題的試題分析、解法探究與教學反思，以期對新一年的數學高考備考有一定的借鑒作用.

1 試題賞析

例1如圖1，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD且∠BAP=∠CDP=90°.

圖1

1)證明：平面PAB⊥平面PAD.

2) (理)若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A-PB-C的余弦值；

(2017年全國數學高考卷Ⅰ第18題)

例1具有以下的特色：

首先，例1中文理科立體幾何解答題是姊妹題，較好地體現了文理科考生的實際與差異，很好地體現了新課標立體幾何內容對文理科考生的不同要求.例1面目溫和、表述簡潔、設問層層遞進，易于入手，難度適中，是一道能讓考生迅速進入狀態的平和試題.

其次，考查了立體幾何中的主干知識與基本思想方法，注重學生空間想象能力的考查.試題以錐體為載體，考查了平面與平面垂直的判定、二面角(理科)的求法、幾何體的體積與側面積(文科)的求法等核心考點，體現了高考重點知識重點考查的原則.對學生空間想象能力的考查相對深入，是一道能較好甄別出學生知識能力水平和數學素養的好題，并具有一定的區分度.

2 解法探究

在近幾年全國卷Ⅰ的高考試題中，立體幾何題型比較穩定[1].立體幾何常常以錐體或柱體為載體，理科命題呈現一題兩法(傳統法與空間向量法)的格局.一直以來，立體幾何解答題讓廣大理科學生又喜又憂：為之而喜是因為只要能建立空間直角坐標系，基本上可以處理立體幾何絕大多數的問題；為之而憂就是對于不規則圖形而言，建系的難度較大，問題不能得到很好地解決，而運用傳統方法，要作多條輔助線，學生較為畏懼.

對文科考生而言，除了要重點掌握好平行與垂直關系的證明外，體積問題是文科考生必須面對的一大難點.縱觀近幾年全國卷Ⅰ文科立體幾何試題，第2)小題往往是有關幾何體體積的綜合問題，對空間想象能力的考查比較深入.對于體積問題，常見的解題方法有作高法、等體積法、割補(間接)法等.

1)證明由∠BAP=∠CDP=90°，得

AB⊥PA,DC⊥PD.

因為AB∥CD，所以

AB⊥PD，

而PD∩PA=P，PD,PA?平面PAD,從而AB⊥平面PAD.又因為AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.

評注文理考題第1)小題相同，是姊妹題的常見命題方式，此小題考查了立體幾何垂直關系中的面面垂直判定，考生常犯的錯誤是對判定定理不熟悉，在沒有證明線面垂直的情況下就得出結果.筆者在教學過程中發現，學生在立體幾何學習中的一個突出問題是對立體幾何的相關概念、公理、定理等知識模糊不清，理解不到位，常常出現不根據概念、公理、定理進行論證或沒有正確使用概念、公理、定理論證的情況，這是教學中教師要重點解決的一大“頑疾”.

下面先對例1理科第2)小題進行分析.

圖2

2)(理)解法1在平面PAD內作PO⊥AD，垂足為O.由第1)小題知，AB⊥平面PAD，PO?平面PAD，從而AB⊥PO.又AD∩AB=A，于是PO⊥平面ABCD.

設n=(x1,y1,z1)是平面PCB的一個法向量，則

即

設m=(x2,y2,z2)是平面PAB的一個法向量，則

即

令x2=1，得m=(1,0,1),則

評注對理科考生而言，二面角是立體幾何學習的一大難點.解法1使用的是學生比較喜歡的空間向量坐標法，通過求解兩個法向量，從而實現問題的求解.“二面角是銳角還是鈍角”的判斷是學生的一大盲點，教學中可結合圖形與法向量的方向進行判斷.另一個突出的問題是法向量如何準確求解.通過統計發現，能準確計算出法向量的學生并不多.因此，這也是教學中必須解決的一大難題.

對于空間向量方法，可能很多教師都著重突出空間向量坐標法，實際上，空間向量基底法也是解題的一大利器.

圖3

解法2如圖3，在平面PAD內作PO⊥AD，垂足為O.由第1)小題知，AB⊥平面PAD，而PO?平面PAD，于是AB⊥PO.又AB∩AD=A，從而PO⊥平面ABCD.設AB=x，則由已知可得

從而

在Rt△PAB中，

取PB的中點M，由PA=AB，知AM⊥PB，又PC=BC，從而CM⊥PB，于是∠AMC是二面角A-PB-C的平面角，故

在△AMC中，由余弦定理得

評注本題使用了二面角求法當中的定義法，求解的關鍵是對圖形中邊角關系的細致觀察以及對基本概念的理解是否到位.對于傳統解法，大部分學生都比較畏懼，因為要作多條輔助線.在教學中，不少教師也著重于空間向量坐標法的教學，以為見效較快，但對于某些難于建系的問題，空間向量坐標法的弱點也凸顯無疑.因此，對傳統法的教學不宜急功近利，應做到細水長流，講清基本原理和方法.

圖4

解法3如圖4，過點P作PQ∥DC且PQ=DC，聯結QB，QC，則四邊形PQCD為平行四邊形.因為AB∥CD，且AB=CD，所以PQ∥AB，且PQ=AB，即四邊形PQBA為平行四邊形.

取PB的中點M，聯結QM，并延長QM交PA于點N，由QP=QB，知QN⊥PB.因為AB⊥平面PAD，PD?平面PAD，所以AB⊥PD，又QC∥PD，于是QC⊥AB.因為PD⊥PA，QC∥PD，所以QC⊥PA，而PA∩AB=A，于是QC⊥平面PQBA，而PB?平面PQBA，故QC⊥PB.又因為PB⊥QN，而QC∩QN=Q，所以PB⊥平面QMC，又MC?平面QMC，知PB⊥MC，從而∠NMC為二面角A-PB-C的平面角，且∠QMC為其補角.設AB=x，則由已知可得

從而cos∠NMC= cos(π-∠QMC)=-cos∠QMC=

評注對于鈍二面角問題，割補法也是一大利器，如解法3，只要利用割補法，作出圖形并進行充分論證，計算極為簡潔，不失為一種好的解法,對學生空間想象能力的培養具有重要的作用.

下面我們來看例1文科第2)小題的求解.

圖5

2)(文)解如圖5，在平面PAD內作PO⊥AD，垂足為O.由第1)小題知，AB⊥平面PAD，而PO?平面PAD，于是AB⊥PO，又AB∩AD=A，從而PO⊥平面ABCD.設AB=x，則由已知可得

故四棱錐P-ABCD的體積為

評注對于文科考生來說，立體幾何中平行與垂直關系的證明并不是難度很大的問題，在教學中，重點要解決的問題是立體幾何證明的條理性與書寫的嚴謹性.而體積問題是學生學習的一大難點，本題中由于幾何體的高較容易作出，于是使用了作高法，實現問題的求解；對于幾何體的高較難作出的問題，則可考慮等體積法與割補法，如下面的3道試題.

1)證明：直線GM∥平面DEF；

2)求三棱錐M-DEF的體積.

(2017年河北省石家莊市二模文科試題第18題)

圖6 圖7

例3如圖7，已知在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2AB=2AC=2，∠BAC=90°，∠BAA1=120°.

1)證明：AB⊥平面AB1C；

2)求四棱錐B1-AA1C1C的體積.

(2017年湖北省四校第一次數學聯考文科試題第18題)

圖8

例4如圖8，正方形ABCD所在平面與⊙O所在平面相交于CD，線段CD為⊙O的弦，AE垂直于⊙O所在平面，垂足E是⊙O上異于C,D的點，AE=3，⊙O的直徑CE為9.

1)求證：平面ABE⊥平面ADE；

2)求五面體ABCDE的體積.

(2017年安徽省安師大附中、馬鞍山二中高三階段性測試數學文科試題第19題)

以上3道題第1)小題都考查了空間中的平行與垂直關系的證明問題，難度不大.對于第2)小題的體積問題，例2由于所要求解的是幾何體的體積，難于直接作出幾何體的高，結合題意，可選用等體積法VM-DEF=VG-DEF=VF-DEG進行求解，考查了化歸與轉化思想，對邏輯思維能力有一定的要求；例3直接求解幾何體的體積較為困難，但通過觀察，可先求出三棱錐B1-ABC的體積，從而間接求出所要求的幾何體的體積；例4通過把所要求的幾何體分割成兩個簡單的幾何體，利用VABCDE=VB-CDE+VB-ADE化難為易，是求解幾何體的一種常見策略，應引起足夠的重視.

3 教學反思與建議

通過對例1的分析，筆者認為，在數學教學中，教師應做到：

1)要重視教材，重視學生的基本功訓練.要注重數學的基本概念、原理、方法的傳授，特別是在高三的備考過程中，教師切不可認為這些基礎知識只要簡單帶過即可，切不可錯誤地認為只有通過題海戰術才能提高學生的解題能力.事實上，數學基本知識與基本技能對學生的長遠發展具有舉足輕重的作用，是數學本質的體現，對學生數學素養的提高具有不可估量的作用.

2)要注重培養學生一題多解、一解多題、一題多變等變式能力的訓練.這對學生思維能力的提高具有不可替代的作用，能發散學生思維，防止思維定勢，對學生以后的學習大有裨益[2].同時，教師要注重典型例題的分析、變式訓練.

3)要重視學生數學思想的培養，在教學中要重視學生數學思想方法的發生、生成、內化、升華過程.如立體幾何中空間想象能力的培養，不可急功近利，特別是理科立體幾何的教學，空間向量方法與傳統方法都不可偏廢，兩手都要硬.而空間角的計算，綜合法與向量法各有千秋，在復習時應兩種方法并重[3].文科立體幾何教學要培養多視角解決體積問題的能力.數學思想與方法是數學基本功中的“內力”，并非一朝一夕能改變，教師要意識到這是細水長流的過程，不能急功近利，從而讓學生在長期接觸與體會中得到升華.

4)應善于學習，努力提高自己的業務能力，要能站在較高的角度看待和審視問題.要適應新一輪課改“培養學生立德樹人的目標，提高學生核心素養”的要求.通過學習，不斷提高自身的基本素養與技能,這樣才能識別出隱藏在試題背后的核心數學思想與素養,并發掘其中有價值的東西傳授給學生，做到“會當凌絕頂，一覽眾山小”.

[1] 杜紅全.追蹤考題 曬曬考點——“立體幾何”高考考點題型歸類解析[J].中學教研(數學)，2017(2)：40-44.

[2] 藍云波.對2015年湖北高考立體幾何試題的探究[J].中學數學：高中版，2015(11)：39-41.

[3] 張曉東.立體幾何的復習策略[J].中學教研(數學)，2015(2)：20-24.

2017-10-16

廣東省梅州市第九屆教育教學科研立項課題(MZ0901-XNS202)

藍云波(1981-)，男，廣東興寧人，中學一級教師.研究方向：數學教育.

O123.2

A

1003-6407(2017)12-31-04