一個向量模 年年高考題

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(浙江師范大學特級教師工作流動站,浙江 金華 321004)

一個向量模年年高考題

●曹鳳山

(浙江師范大學特級教師工作流動站,浙江 金華 321004)

向量因為其雙重身份在中學數學中具有廣泛的應用，因而地位十分重要，也成為高考重點考查的內容之一.橫看成嶺側成峰，對于向量模，視角不同就有不同的意義，因此每年涉及向量模的試題可以常考常新.

向量模；距離；夾角

向量因為其幾何、代數雙重身份而特殊，因為其雙重身份而應用廣泛，所以成為高考重點考查內容之一，其中大多涉及向量模.一個向量模，因命題的角度不同，每年都會有新穎的情境出現.下面以浙江省近十年來涉及向量模的高考試題為例，梳理高考對向量模的考查視角.

1 距離形式

向量的模就是向量長度，是連接向量起點、終點的線段長.由于起點和終點的位置、含義不同，從而出現具有不同幾何意義的量，如兩點之間的距離、點到直線的距離、點到平面的距離等等.

例1已知向量a≠e，|e|=1，對任意t∈R，恒有|a-te|≥|a-e|，則

( )

A.a⊥eB.a⊥(a-e)

C.e⊥(a-e) D.(a+e)⊥(a-e)

(2005年浙江省數學高考理科試題第10題)

圖1

(2013年浙江省數學高考理科試題第17題)

圖2 圖3

例3設θ為兩個非零向量a，b的夾角，已知對任意實數t，|b+ta|的最小值為1

( )

A．若θ確定，則|a|唯一確定

B．若θ確定，則|b|唯一確定

C．若|a|確定，則θ唯一確定

D．若|b|確定，則θ唯一確定

(2014年浙江省數學高考文科試題第9題)

分析如圖3，由|b+ta|的最小值為1，知點B到OA所在的直線的距離為1.故選B.

(2015年浙江省數學高考理科試題第15題)

圖4

b=x0e1+y0e2+e3

2 三角形邊長形式

向量的加、減運算與三角形緊密相關，向量的模通常表現為三角形邊長，以向量形式表現三角形邊、角之間的位置和數量關系.

例5若非零向量a,b滿足|a+b|=|b|，則

( )

A．|2a|>|2a+b| B．|2a|<|2a+b|

C．|2b|>|a+2b| D．|2b|<|a+2b|

(2007年浙江省數學高考理科試題第7題)

分析如圖5，由|a+b|=|b|知△OBC為以OB為底邊的等腰三角形.為作圖簡便，把選擇項中系數都除以2，這時底邊上的高

顯然

圖5 圖6

例6已知平面向量a，b，|a|=1，|b|=2，a·b=1．若e為平面單位向量，則|a·e|+|b·e|的最大值是______．

(2016年浙江省數學高考文科試題第15題)

分析由|a|=1，|b|=2，a·b=1易得=60°，|a·e|+|b·e|表示向量a，b在單位向量上的投影之和.如圖6，OB1+B1C1=OC1，當單位向量a與b共線時，投影為OC.明顯地，|OC1|≤|OC|,即當且僅當單位向量e與a+b共線時,|a·e|+|b·e|最大，此時

3 平行四邊形的邊長、對角線長形式

向量的加、減運算與平行四邊形密切相關，向量的模通常表現為平行四邊形的邊長、對角線長等形式，以向量形式體現平行四邊形中的位置、數量關系.

( )

A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|}

B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|}

C.max{(a+b)2,(a-b)2}≥a2+b2

D.max{(a+b)2,(a-b)2}≤a2+b2

(2014年浙江省數學高考理科試題第8題)

分析根據向量加法的平行四邊形法則與減法法則，容易證明

則(a+b)2,(a-b)2中至少有一個不小于a2+b2，即

max{(a+b)2,(a-b)2}≥a2+b2.

下面一道高考題更明顯地體現出平行四邊形(正方形)對角線與一組鄰邊的關系.

例8設向量a,b,c滿足a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b,若|a|=1,則|a|2+|b|2+|c|2的值是______.

(2006年浙江省數學高考理科試題第13題)

圖7

分析如圖7，由a⊥b知四邊形ABCD為矩形，又由a+b+c=0，(a-b)⊥c,知四邊形ABCD為正方形，從而

c2=2|a|2，

故

|a|2+|b|2+|c|2=4.

下面這道高考題是典型的考查平行四邊形對角線與邊長關系的問題.

例9已知向量a，b滿足|a|=1,|b|=2,則|a+b|+|a-b|的最小值是______，最大值是______.

(2017年浙江省數學高考試題第15題)

分析從向量運算的幾何意義出發，易得

|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2)=10,

4 圓的弦長形式

除了以三角形、平行四邊形為背景，向量的模還常常以圓為背景，涉及圓的弦、半徑以及直徑等.

例10已知a，b是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量c滿足(a-c)·(b-c)=0,則|c|的最大值是

( )

(2008年浙江省數學高考理科試題第9題)

圖8 圖9

例11已知平面向量α,β(其中α≠0,α≠β)滿足|β|=1，且α與β-α的夾角為120°，則|α|的取值范圍是______.

(2010年浙江省數學高考理科試題第16題)

從而

5 數量積的另一形式

向量的模、向量的數量積都是向量部分的重要量，這兩個量之間除了在數量積中的聯系之外，還有其他關系嗎？

(2012年浙江省數學高考理科試題第15題)

分析因為AM=3，MB=MC=5，所以

實際上，本題體現了一個一般性的關系式：

寫成一般的關系式為

這就是大家所說的“極化恒等式”.該式說明:向量的數量積可以由向量和、差運算的模表示，該式溝通了向量的數量積與線性運算之間的關系，有著廣泛而重要的應用.

( )

A.∠ABC=90° B.∠BAC=90°

C.AB=ACD.AC=BC

(2013年浙江省數學高考理科試題第7題)

(2016年浙江省數學高考理科試題第15題)

圖10

(a+b)2+(a-b)2=

2(a2+b2)=10.

則(a+b)2有最大值6，這時(a-b)2取到最小值4，故

當且僅當單位向量e與向量a+b共線時,等號成立.

[1] 曹鳳山. 年年考向量 歲歲數與形——浙江省自主命題以來向量試題特點評析[J].中學教研(數學),2013(4):37-39.

[2] 曹鳳山.數學教學 把根留住——2015年浙江省數學高考試題解讀[J].中學教研(數學),2015(8)：1-4.

2017-09-26

曹鳳山(1967-)，男，山東菏澤人，山東省特級教師.研究方向：數學教育.

O123.1

A

1003-6407(2017)12-43-04