在大學物理實驗中用數值法估算不確定度

蔣衛建

【摘要】間接測量指的是先用儀器直接測量一些物理量的值，然后再進行函數運算得到測量結果的測量。在大學物理實驗課程中，經常要估算間接測量結果中的不確定度。通常，我們給出間接測量是直接測量的線性函數或乘除運算等簡單情況的公式。對于一般函數運算的情況，我們要用微積分推導公式，然后計算，過程繁難。我們也可以采用數值計算的方法。目前計算器等工具十分普及，數值計算值得推廣[1-4]。

【關鍵詞】物理實驗；數值法；不確定度

【中圖分類號】TM614 【文獻標識碼】B 【文章編號】2095-3089（2017）14-0286-01

一、數值計算法簡介

例如，我們要測量的物理量f是直接測量量x，y的函數，且f=f（x，y）。

我們可以直接用數值計算法[5]，分成以下幾步：

1.將、代入f=f（x，y），計算=f（，），即先求出間接測量值。

2.將（+ux）、代入f=f（x，y），將計算結果記為fx，即fx=f（+ux，）。

3.將、（+uy）代入f=f（x，y），將計算結果記為fy，即fy=f（?x，+uy）。

4.合成不確定度uf=。

我們來解釋一下為什么這里要用方和根。如果我們算的·是誤差本身，明確的知道誤差的大小和正負，那么應該直接求和而不用方和根。但是在這里，我們計算的量是不確定度，它表示由于誤差的存在而引起的測量值的分散程度，而且是在概率意義下給出的。不確定度的合成就要用方和根。

我們舉個極端的例子來說明問題。做投擲硬幣的實驗時，把正面朝上記為2，反面朝上記為0，則我們期望每次投擲的結果為：1±1。假設我們共投擲了100次，最終期望的結果應該是多少？如果我們直接把各次的不確定度直接相加，那結果是100±100，它包含了0-200的各種可能性。雖然0和200的結果都是可能的，但是這種可能性很小，僅有（1/2）100。如果1秒鐘做1次投擲實驗，平均需要1022年才能出現一次0或200，這時間是地球的年齡1010年的1012倍。顯然，這種可能性太小了，這樣合成不確定度是不合理的。如果我們把各次的不確定度求方和根，那結果是100±10，這正是數理統計給出的結果。

二、舉例

例如，利用最小偏向角測量綠色光的折射率，所得數據為：三棱鏡頂角A=60°1'±1'，最小偏向角θ=51°28'±3'。計算折射率n的公式為：

要求折射率n的最終結果表達式。

參照以上給出的步驟，

所以，折射率n的最終結果表達式為：

n=1.65260±0.00055=1.6526±0.0006。

三、分步計算的例子

如果一個函數十分復雜，我們可以把它看成是簡單函數的組合，然后分步估算不確定度，這也是行之有效的方法。有些實驗非常復雜，分成很多部分，每一部分本身也許也是間接測量。不同部分也許是由不同的人員在不同的時間里在各自的實驗室里完成的，他們的結果最后組合到一起，這當中的不確定度就相當于用分步的方法來估算了。

例如，為測量圖（1）中陰影部分面積A，測得圖中各量為：a=（5.000±0.002）cm、b=（4.326±0.004）cm、d=（1.631±0.003）cm、θ=30°0'±1'。要求給出A的最終結果表達式。

圖（1）測量陰影部分面積

面積A的計算公式為：

式中記f=sinθ，g=1/2abf，h=d2。

根據數值計算法，有：

f=0.50000±0.00026，ug=0.0065cm2，uh=0.0078cm2。

所以，面積A的最終結果表達式為：

A=（3.3182±0.011）cm2=（3.32±0.02）cm2。

四、小結

計算器和計算機十分普及，手機也可以作為計算工具，數值計算的方法雖然有些繁瑣，但容易理解，學生可以很好的掌握，也能促進學生理解不確定度合成的原理。

參考文獻

[1]陳守川，杜金潮等.新編大學物理實驗教程[M].杭州：浙江大學出版社，2011.

[2]丁慎訓，張連芳.物理實驗教程[M].北京：清華大學出版社，2002.

[3]賈芳. 基礎物理實驗[M].北京： 中國農業大學出版社，2011.

[4]Louis Lyons. A Practical Guide To Data Analysis for Physical Science Students. Cambridge University Press. 1991. 1-43.

[5]朱鶴年.基礎物理實驗教程[M].北京：高等教育出版社，2003.