優化策略，巧妙解題
——解三角形

■江蘇省張家港職業教育中心校 韓文美

優化策略，巧妙解題
——解三角形

■江蘇省張家港職業教育中心校 韓文美

學習解三角形內容時,我們要通過對任意三角形邊角關系的探索,掌握正弦定理、余弦定理,并利用它們解決一些簡單三角形度量問題及一些與測量和計算有關的實際問題。該部分是每年高考中的基本考點之一,大都運算量大、公式應用多,這就要求我們不僅應具有較高的計算水平、較強的運算能力,還應善于審題,采用相應的策略,優化解題過程。

一、特殊策略，拓廣應用

分析：若采用常規方法通過解三角形思維來求解,難度比較大,計算量也大,而用特殊的正三角形來代替一般的任意三角形,可以快速做出正確的選擇。

解：不妨將△ABC看作正三角形,這時AB+AC=6,B=,前三個選項都不符合,僅有選項D符合,故答案為D。

點評:對于一般性的數學填空題、選擇題,如果解答過程較復雜,不妨從一般性的問題轉化到特殊性的問題上來,通過特例分析,往往能獲得解題的重要信息,達到簡化思維過程、降低運算難度的目的。

二、整體策略，代入應用

分析：根據余弦定理得到a2+b2-c2=2abcosC,整體代入已知的關系式,結合三角形的面積公式加以轉化與應用。

解：由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,得a2+b2-c2=2abcosC。

點評:本題主要考查余弦定理,三角形的面積公式及應用等。通過解三角形中的相關公式加以整體代入,可使運算過程簡潔明快,簡化解答過程。

三、方程策略，轉化應用

分析：分別利用正弦定理與余弦定理,利用相應的關系式建立相應的方程,通過求解方程的解并結合實際條件來確定邊長之間的關系,進而判斷三角形的形狀。

又因為(a+b+c)(a+b-c)=3ab,所以(a+b)2-c2=3ab,則4b2-c2=3b2,所以b=c。

所以a=b=c,因此△ABC為等邊三角形。

點評:通過三角形中的邊與角等信息關系,可利用正弦定理與余弦定理綜合來解決相關三邊之間的關系問題。在處理一些綜合的三角形問題中,可以通過方程策略的建立,綜合三角函數相關知識、正弦定理與余弦定理、三角形面積公式等進行求解。

四、數形策略，直觀應用

分析：由于三角形有唯一解,通過數形結合,可利用三角形的圖像加以直觀轉化,結合三角形的情況確定對應的解。

解：三角形有唯一解時,即由a,b,A只能畫唯一的一個三角形,如圖1所示。

當CB1⊥AB1時,△ABC 唯一確定,可得a=bsinA=6。

當CB2≥CA時,此時△ABC唯一確定,可得a≥b=43。

綜合可得a=6或a≥43。

點評:本題考查解三角形及其應用。直接利用解三角形的相關公式加以求解反而無法下手,而通過數形結合,利用三角形的圖像加以直觀確定則易求解。此外,還要注意分類討論思維的應用。

圖1

五、反證策略，正反應用

A.△A1B1C1和△A2B2C2都是銳角三角形

B.△A1B1C1和△A2B2C2都是鈍角三角形

C.△A1B1C1是鈍角三角形,△A2B2C2是銳角三角形

D.△A1B1C1是銳角三角形,△A2B2C2是鈍角三角形

分析：直接采用常規方法來處理,無從下手,而采用反證法策略,通過正難則反思維來分析,可以巧妙轉化,達到正確判斷的目的。

解：因為正弦值在(0,π)內是正值,所以△A1B1C1的三個內角的余弦值均大于0,因此△A1B1C1是銳角三角形。

所以原假設不成立,即△A2B2C2是鈍角三角形,故答案為D。

點評:本題涉及兩個三角形的形狀的關系與判斷問題,難度較大,比較難下手。正面求解思路不明顯且不易操作,借助于反證法間接地將問題加以轉化,可達到順利解決問題的目的。

六、極限策略，動感應用

分析：直接分析求解難度不小,而通過角的變化帶動點的變化,以極限策略來分析,可以很快確定答案。

解：若∠A→0,點C→點A,此時有h→0,c→a,則∠C→180°,∠A→0。

點評:通過∠A的變化極限分析過程,分析對應的點C的變化情況,伴隨對應h的變化,從而判斷對應∠C的變化情況,代入關系式就可得對應的三角函數值。本題若直接運用三角公式或正、余弦定理處理,很難找到解題思路。

涉及解三角形的問題是每年高考的必考考點之一,要做到規避大運算量與多數學公式等問題,就要求我們不僅具有較高的運算水平和較強的運算能力,還應善于審題,采用相應的策略減少運算量,提高解題效益。

(責任編輯 徐利杰)