一道數列綜合題的解法及變式探究

■江西省豐城中學 吳愛龍 劉衛琴

一道數列綜合題的解法及變式探究

■江西省豐城中學 吳愛龍 劉衛琴

1.試題呈現

設數列{an}的前n項和為Sn,n∈N*,已知a1=1,a2=,且當n≥2時, 4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1。

(1)求a4的值;

(3)求數列{an}的通項公式。

這是一道求數列相關問題的綜合試題,考查了轉化化歸思想與構造新數列的能力,是不可多得的好題。

2.解法剖析

這里對第一問、第三問不詳解,主要談第二問的幾種解法。

數列{an·2n}是首項為2,公差為4的等差數列,即an·2n=4n-2,an=

這是處理在已知Sn條件下求an問題的一種常規解法。但由于遞推關系式中含有數列{an}中相鄰四項,需兩次觀察、構造才能做好,很多同學至此大都思路中斷。我們不妨換個角度去思考,或許會“柳暗花明”。

上述解法可謂一氣呵成,需要同學們通過認真觀察、思考并根據系數特征才能想得出來。同學們平時學習中應注重基礎,不可過分追求一些技巧性太強的解法。

解法3：因為n≥2時,4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1,所以4(Sn+2-Sn+1)-5(Sn+1-Sn)=-Sn+1+Sn-1,4an+2-5an+1=-(an+1+an)。

則4an+2-4an+1=-an,下同解法1,過程略。

這種解法從本題的實際出發“量身定做”,既不落俗套,又淡化了“湊項”的技巧。關鍵的一步變形4(Sn+2-Sn+1)-5(Sn+1-Sn)=-(Sn+1-Sn-1)在情理之中。

由此可得以下解法。

解法4：因為n≥2時,4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1,所以4(an+2+an+1+an+Sn-1)+5(an+Sn-1)=8(an+1+an+Sn-1)+Sn-1。

整理得4an+2-4an+1=-an。

下同,過程略。

上述解法簡單至極,其之所以“簡”,是因為能返璞歸真,回歸到最基本的關系式an=

3.變式拓廣

下面將題目作些變式探究。

變式1：設數列{an}的前n項和為Sn,n∈N*。已知a1=1,a2=且當n≥2時,4Sn+3-12Sn+2+13Sn+1-6Sn+Sn-1=0,求數列{an}的通項公式。

解：當n≥2時,4Sn+3-12Sn+2+13Sn+1-6Sn+Sn-1=0,故:

4(an+3+an+2+an+1+an+Sn-1)-12(an+2+an+1+an+Sn-1)+13(an+1+an+Sn-1)-6(an+Sn-1)+Sn-1=0。

整理得:

4an+3-8an+2+5an+1-an=0。

變形得:

4an+3-4an+2+an+1=4an+2-4an+1+an。

4a4-4a3+a2=4a3-4a2+a1=0。

故4an+2-4an+1+an=0,n∈N*。

(責任編輯 徐利杰)