多角度探究求目標函數的最值題型

■河北省邢臺市第十九中學 劉鵬杰

多角度探究求目標函數的最值題型

■河北省邢臺市第十九中學 劉鵬杰

線性規劃問題是高考的重點,并且線性規劃問題具有代數和幾何的雙重形式,多與函數、平面向量、數列、三角、概率等問題交叉滲透,自然地融合在一起,使數學問題的解答變得更加新穎別致。歸納起來常見的命題角度有:(1)求線性目標函數的最值;(2)求非線性目標的最值;(3)求線性規劃問題中的參數值。

求目標函數的最值要明確以下幾個概念:

(1)約束條件:由變量x,y組成的不等式(組);

(2)線性約束條件:由關于x,y的一次不等式組成的不等式組;

(3)目標函數:關于x,y的函數解析式,如z=2x+3y等;

(4)可行解:滿足線性約束條件的解(x,y);

(5)最優解:使目標函數取得最大值或最小值的可行解。

題型一：求線性目標函數的最值

A.10 B.8 C.3 D.2

解析：作出可行域,如圖1中陰影部分所示。

由z=2x-y得y=2x-z,作出直線y=2x,平移使之經過可行域,觀察可知,當直線經過點A(5,2)時,對應的z值最大。故zmax=2×5-2=8。選B。

圖1

解析：根據題意畫出可行域,如圖2所示。

圖2

題型二：求非線性目標的最值

解析：不等式組表示的平面區域如圖3中陰影所示,顯然當點M與點A重合時直線OM的斜率最小。由直線方程x+2y-1=0和3x+y-8=0,解得A(3,-1),故OM斜率的最小值為設實數x,y滿足不等式組則x2+y2的取值范圍是( )。

圖3

圖5

圖6

A.[1,2]

B.[1,4]

C.[2,2]

D.[2,4]

解析：如圖4所示,不等式組表示的平面區域是△ABC的內部(含邊界),x2+y2表示的是此區域內的點(x,y)到原點距離的平方。從圖中可知最短距離為原點到直線BC的距離,其值為1;最遠的距離為AO,其值為2。故x2+y2的取值范圍是[1,4]。選B。

圖4

題型三：求線性規劃中的參數

當k＜-1時,z=y-x取得最小值2,當k=-1時,z=y-x取得最小值-2,均不符合題意。

當-1＜k＜0時,如圖6所示,此時可行域為點A(2,0),B(-2,0),C(0,2)所圍成k的三角形區域,當直線z=y-x經過點時有最小值,即-選D。已知x,y滿足約束條件若z=y-ax取得最大值的最優解不唯一,則實數a的值為( )。

C.2或1 D.2或-1

解法1：由題中條件畫出可行域,如圖7中陰影部分所示。可知A(0,2),B(2,0),C(-2,-2),則zA=2,zB=-2a,zC=2a-2,要使目標函數取得最大值的最優解不唯一,只要zA=zB＞zC或zA=zC＞zB或zB=zC＞zA,解得a=-1或a=2。選D。

圖7

解法2：目標函數z=y-ax可化為y=ax+z,令l0:y=ax,平移l0,則當l0∥AB或l0∥AC時符合題意,故a=-1或a=2。選D。

方法與思路歸納:

1.求目標函數的最值的一般步驟為:一畫,二移,三求,關鍵是準確作出可行域,理解目標函數的意義。

2.常見的目標函數有:

(1)截距型:形如z=ax+by,求這類目標函數的最值常將函數z=ax+by轉化為直線的斜截式:通過求直線的截距的最值間接求出z的最值。

(2)距離型:形如z=(x-a)2+(y-b)2。

(責任編輯 徐利杰)