例談競賽中的數列題型及其方法

■廣東省興寧市第一中學 藍云波

例談競賽中的數列題型及其方法

■廣東省興寧市第一中學 藍云波

數列在競賽中的考點多,考查頻率高,命題設置靈活,是考查同學們綜合素質與能力的極好的素材。為了幫助同學們更好地備戰高中數學聯賽,下面通過對近幾年各地競賽題的分類例析,以幫助同學們提高學習效率。

一、知識點梳理

數列競賽題對代數變形能力要求較高,下面是一些重要的代數變形技巧。

1.常見的裂項技巧。

二、題型例析

題型一 等差數列的基本概念和性質

解析：設等差數列an{}的公差為d,則由題設可得a1+nd+a1+(n-1)d=2dn+2a1-d=4n-58。因為此式恒成立,所以2d=4,且2a1-d=-58。解得d=2,a1=-28。所以a2015=a1+2014d=4000。

點評:等差數列的公差與首項的求解,常常要借助方程(組)的思想,同時對運算求解能力有一定的要求。

解析：(解法1)設{an}和{bn}的公差分別為d1,d2,則由

設d2=d,則d1=5d,進一步可得到a1=d,b1=5d。于是有

點評:等差數列問題中,等差數列的性質的合理運用是靈活解題的關鍵。解法1比較直接,但運算量較大;而解法2通過利用等差中項的性質,實現了問題的快速解決。

題型二 等比數列的基本概念和性質

點評:本題是一個隱蔽的等比數列問題,在通過賦值得到an{ }是一個等比數列后,問題便迎刃而解。

題型三 等差數列與等比數列的綜合

因為d＞0,所以a1=d,于是an=nd,從而bn=a2n=d·2n。

點評:本題綜合考查了等差數列與等比數列的基礎知識,對基本概念、公式的理解是解題的關鍵。

題型四 倒序求和法

點評:這是一道極為經典的倒序求和問題,這類試題往往給出一個優美的函數,然后借助該函數蘊含的一個奇妙性質進行求和,而這個蘊含的奇妙性質,往往需要對所需求和的式子進行觀察而獲得。

題型五 并項求和法

A.-2016 B.-1008

C.2016 D.4032

解析：因為an+an+1=(-1)n(2n-1)+(-1)n+1(2n+1)=(-1)n[(2n-1)-(2n+1)]=(-1)n+1·2,所以當n為奇數時,an+an+1=2。

故數列an{}的前2016項之和S2016=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2015+a2016)=2×1008=2016,故選C。

點評:對于通項公式含有(-1)n的數列求和問題,通常可采取并項求和的策略求和,通過并項,轉化為常規的數列求和問題。

題型六 裂項求和法

點評:裂項求和方法源于課本習題,是高考中考查頻率最高的求和方法,有多種不同形式,具有較強的靈活性,對代數變形能力的要求很高。

點評:本題是三角形式的裂項求和問題,令人耳目一新。

題型七 錯位相減求和法

(1)求數列{an}的通項公式;

(2)令bn=anlog3an,求數列{bn}的前n項和Tn。

兩式相減,得an+1=c·an(n≥2),又知所以數列{an}是公比為c的等比數列。

(2)因為bn=3n-1log33n-1=(n-1)3n-1,所以Tn=1·3+2·32+3·33+…+(n-1)·3n-1。

故3Tn=1·32+2·33+3·34+…+(n-1)·3n。

點評:錯位相減法源于等比數列的求和公式的推導過程。在高考中,常考查差比型的數列求和問題(差比型數列即數列的通項公式的形式為等差數列乘以等比數列)。這種方法具有一定的運算量,解題的關鍵是對差比型數列的識別和運算能力。

題型八 數列型不等式

(1)求數列{an}的通項公式;

(2)令bn=,n∈N*,Sn是數列{bn}的前n項和,求證:Sn＜1。

又a1=3f(1)-f(0)=8,所以數列{an}是首項為8,公比為3的等比數列。

所以an=8·3n-1。

(2)因為bn=所以當n≥2時,

綜上知命題得證。

點評:數列不等式是競賽中的重點,對大部分數列和型不等式問題,不能直接求和,但在通過放縮后,卻能進行求和。

(責任編輯 徐利杰)