巧解絕對值之和最小值問題

■河南省鄭州外國語新楓楊學校高三(25)班 周奕博

巧解絕對值之和最小值問題

■河南省鄭州外國語新楓楊學校高三(25)班 周奕博

絕對值不等式是高中數學的一個重要內容,也是每年高考必考題目。特別求絕對值函數的最值是一個熱點也是一個難點問題,這類問題要求有較強的邏輯推理能力、嚴謹的思維習慣,以及對分類討論思想方法的正確把握。解決這類問題主要有三種方法:一是利用圖像解題;二是利用三角不等式解題;三是利用幾何性質解題。

一、引例

不等式|x-a|+|x-1|≤3有解,則參數a的取值范圍為____。

解析：令f(x)=|x-a|+|x-1|,根據題目有解,問題可轉化為:?x∈A,使得f(x)≤m有解,等價于?x∈A,f(x)min≤m。

f(x)是絕對值函數,可以利用絕對值幾何性質求最小值,f(x)=|x-a|+|x-1|表示x到1和a距離之和,顯然最小值在x處于1與a之間時取得,最小值為|a-1|,即|a-1|≤3,解得-2≤a≤4。

二、方法提煉與解題總結

對于含多個絕對值相加的函數,求其最小值我們可以用如下的結論:已知f(x)=|x-x1|+|x-x2|+…+|x-xn|(x1≤x2≤…≤xn),則:

這也意味著:將零點從小到大排列,f(x)的最小值在中間項的零點處取得。

解析：令f(x)=|2x-a|+|3x-2a|,則由題意可得?x∈R,f(x)min≥a2恒成立。題目轉化為求絕對值和形式的最小值。

但題目中的f(x)絕對值和的形式和前面結論有所差異,我們可以做如下變形:

解析：令f(x)=|2x+1|+|x-3|,根據題目解集非空,可轉化為:?x∈R,f(x)≤|a-1|成立,等價于f(x)min≤|a-1|。

那么,題目就是求解絕對值和的最小值。但題目中f(x)絕對值內的形式和前面結論有所不同,我們可以進行變形:

(責任編輯 徐利杰)