基本不等式的應(yīng)用

■江蘇省張家港市第二中學(xué) 何海虹

基本不等式的應(yīng)用

■江蘇省張家港市第二中學(xué) 何海虹

基本不等式及其應(yīng)用作為高考中的一個(gè)考點(diǎn),在高考中有時(shí)單獨(dú)考查,有時(shí)與其他知識(shí)加以交匯,主要出現(xiàn)在與不等式的基本性質(zhì)的交匯、最值問題的求解、邏輯問題的判定以及實(shí)際應(yīng)用問題的判定等方面。解這些問題時(shí),我們要注意:(1)基本不等式成立的條件的確定;(2)等號(hào)成立往往是最值確定的關(guān)系,要注意參數(shù)值的取值;(3)正確合理的變形往往是利用基本不等式的前提條件。

一、求解最值問題

方法鏈接：基本不等式是求函數(shù)最值的有力工具,在使用基本不等式求函數(shù)最值時(shí),要注意應(yīng)用條件“一正、二定、三相等”。不要僅僅關(guān)注結(jié)構(gòu)上的定值,而忽略對(duì)相等條件的考察。(2017·山東文·12)若直線+=1(a＞0,b＞0)過點(diǎn)(1,2),則2a+b的最小值為____。

分析：根據(jù)直線過點(diǎn)的條件確定定值問題,利用基本不等式加以變形與綜合,最后求解相應(yīng)的最值問題。

故答案為8。

點(diǎn)評(píng):本題主要考查化歸與轉(zhuǎn)化思想。在利用基本不等式求最值時(shí),常用的技巧就是“1”的代換,其目的就是借助“1”將所求式子的結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整,直至優(yōu)化到能夠利用基本不等式為止。

二、求解參數(shù)值問題

方法鏈接：求解參數(shù)值問題時(shí),往往結(jié)合已知不等式,利用不等式等號(hào)成立的條件來求解相應(yīng)的參數(shù)值問題。解決問題時(shí),往往先通過猜測確定參數(shù)值,再利用基本不等式來證明。

分析：由于已知不等式是關(guān)于正實(shí)數(shù)a,b,c的輪換對(duì)稱式,這表明這三個(gè)字母在不等式中的地位相同,因此當(dāng)a=b=c時(shí)不等式的等號(hào)成立。對(duì)于這個(gè)不等式等號(hào)成立的條件,可結(jié)合已知利用配湊構(gòu)造基本不等式來求解。

解：當(dāng)a=b=c=1時(shí),代入已知不等式ab+bc+ca+k 2,那么最小的正實(shí)數(shù)k=2。

點(diǎn)評(píng):本題主要考查基本不等式,考查轉(zhuǎn)化與化歸思想。解決參數(shù)值的求解問題,往往是通過基本不等式的條件“三相等”來加以轉(zhuǎn)化,進(jìn)而確定參數(shù)值。

三、處理恒成立問題

方法鏈接：求解含參數(shù)的不等式恒成立問題,可通過分離參數(shù)把參數(shù)的范圍化歸為函數(shù)的最值問題。a＞f(x)恒成立?a＞[f(x)]max,a＜f(x)恒成立?a＜[f(x)]min。

A.(-∞,-1)

B.(-∞,22-1)

C.(-1,22-1)

D.(-22-1,22-1)

分析：將函數(shù)恒為正值轉(zhuǎn)化為參數(shù)恒成立問題,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和基本不等式的解法即可求解參數(shù)k的取值范圍。

解：由f(x)＞0得32x-(k+1)·3x+

所以k+1＜22,解得k＜22-1,故答案為B。

點(diǎn)評(píng):求解不等式恒成立問題,經(jīng)常采用參數(shù)分離法,這是解決此類問題的關(guān)鍵。同時(shí)還要注意利用基本不等式的條件及基本初等函數(shù)的基本性質(zhì)與應(yīng)用等。

四、證明不等式問題

方法鏈接：證明不等式時(shí)應(yīng)根據(jù)求證式兩端的結(jié)構(gòu),合理選擇重要不等式及其變形不等式。

分析：根據(jù)兩代數(shù)式均為正的條件,利用基本不等式的變式加以轉(zhuǎn)化,可以證明所要求證的不等式成立。

證明：因?yàn)閍＞2,所以loga(a-1)＞0,loga(a+1)＞0。

所以loga(a-1)loga(a+1)＜1。

點(diǎn)評(píng):在利用基本不等式證明相應(yīng)的不等式問題時(shí),往往所給不等式的結(jié)構(gòu)與基本不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)有較大的差異,所以常常要使用一定的變形技巧與轉(zhuǎn)化策略,對(duì)原不等式的結(jié)構(gòu)進(jìn)行適當(dāng)?shù)母脑觳拍軕?yīng)用。

五、求解方程問題

方法鏈接：應(yīng)用基本不等式解決實(shí)際問題時(shí),應(yīng)注意把要求最值的變量設(shè)為函數(shù)。列函數(shù)解析式時(shí),要注意所設(shè)變量的范圍。

分析：由于方程的左邊的未知數(shù)x的次數(shù)是偶次的,右邊是奇次的,則可判斷方程的解x≥0,又x=0代入方程不成立,那么方程的解肯定是正數(shù),通過方程兩邊同時(shí)除以x2017,結(jié)合等式的展開并利用基本不等式來處理即可達(dá)到求解方程的目的。

解：由于方程的左邊的未知數(shù)x的次數(shù)是偶次的,右邊是奇次的,則可判斷方程的解x≥0,又x=0代入方程不成立,那么方程的解x＞0。

故原方程的解為x=1。

點(diǎn)評(píng):本題主要考查方程的求解和基本不等式的應(yīng)用。直接求解方程顯然無法下手,而通過方程的轉(zhuǎn)化,結(jié)合關(guān)系式的展開,利用基本不等式,結(jié)合不等式與方程的關(guān)系則容易求解。

(責(zé)任編輯 趙 平)