利用基本不等式破解最值問題

■江西省瑞金市第三中學 劉小東

利用基本不等式破解最值問題

■江西省瑞金市第三中學 劉小東

利用基本不等式求最值時,必須注意“一正,二定,三相等”。①一正:關系式中,各項均為正數;②二定:關系式中,含變量的各項的和或積必須有一個為定值;③三相等:含變量的各項均相等。要取得最值,三條件缺一不可。如果項是負數,可轉化為正數后解決,當和(或積)不是定值時,需要對項進行添加、分拆或變系數,將和(或積)化為定值。

題型一：已知x＞0,求x+k(k＞0)的x最小值,可直接利用基本不等式。

解析：因為a,b∈R,ab＞0,則a4+4b4≥4a2b2。

評注:本題先利用重要不等式得出a4+4b4≥4a2b2,再利用基本不等式得出≥4,取等號的條件由前后共同決定。

評注:本題屬于基本不等式在應用題中的運用。題型二：已知正數x,y滿足m(λ,μ∈R+,m∈R+且m為定值),求px+qy(p,q∈R+)的最小值。

評注:本題主要考查基本不等式。先將已知式子變形,再利用1的靈活應用,給待求式子配上式子,再運用基本不等式和不等式性質求出最值。

A.8 B.9 C.12 D.16

綜上可得x+y的最小值為9。故應選B。

評注:本題中給定的形式不直接適合基本不等式,可將已知式子變形,給待求式子配上式子,構造出基本不等式的形式再進行求解。

題型三：已知正數x,y滿足λx+μy=

m(λ,μ∈R+,m∈R+且m為定值),求的最小值。

解析：直線平分圓周,則直線過圓心(1,1),所以有a+b=2(當且僅當b=2a時取“=”),故應選D。

評注:本題先利用直線與圓的位置關系列出式子,再運用基本不等式求解。

評注:對于本題,給已知式子配上式子x+(1-x),再利用多項式的乘法相乘,分組并項后利用基本不等式即可求出最小值。

題型四：利用基本不等式將等式放縮,得到不等式,再求解。

評注:在利用基本不等式求最值時,要特別注意“拆、拼、湊”等技巧,使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數)、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應用,否則會出現錯誤。本題中利用基本不等式,將等式轉化為不等式,再解一元二次不等式,結合已知條件,得出mn的最小值。

(責任編輯 徐利杰)