一道課本例題的有效利用

■陜西省武功縣教育局教研室 李 歆(特級(jí)教師)

一道課本例題的有效利用

■陜西省武功縣教育局教研室 李 歆(特級(jí)教師)

北師大版《數(shù)學(xué)》(必修5)第88頁有這樣一道例題:

證法2：在基本不等式a+b≥2ab的兩邊同乘以 ab,得(a+b)ab≥2ab,整理可得

點(diǎn)評(píng):證法1和證法2都抓住了“無理根式有理化”這一個(gè)基本的解題思想方法,把無理根式 ab的作用與價(jià)值充分挖掘了出來,由此為我們提供了一條解決含有根式問題的“綠色通道”。

已知a,b為正數(shù),且a+4b+4ab=8,則a+4b+2ab的最小值是 。

故a+4b+2ab的最小值是6。

點(diǎn)評(píng):對(duì)于這道題,如果直接用基本不等式處理,那么往往會(huì)出現(xiàn)下列情況:由8=a+4b+4ab≥4,由此可得又由基本不等式,得a+4b+來解題受阻。因?yàn)樵鞠霃臈l件等式中得到某個(gè)常數(shù),結(jié)果事與愿違,造成“無法實(shí)現(xiàn)對(duì)接,導(dǎo)致解題失敗。

A.2 B.3 C.3 D.22

分析：因?yàn)閍,b,c是非負(fù)實(shí)數(shù),存在a,b,c為零的情況,所以不能直接對(duì)所求式進(jìn)行“無理根式有理化”處理。但注意到前面課本例題的證法2,仿照此法,便可打開解題的突破口。

點(diǎn)評(píng):由“非負(fù)實(shí)數(shù)a,b,c”得到:a+b+c≥a+b,是題目中隱含的一個(gè)舉足輕重的不等式,由此可以將不等式轉(zhuǎn)化為2ab,從而找到另外與(a+b+三者左邊根式前面的“系數(shù)”統(tǒng)一了起來,讓“不能相加”的不等式變成了“能相加”的不等式。同時(shí)為順利構(gòu)建并得到創(chuàng)造了有利的條件。

受解法1的啟發(fā),可得到解法2。

故 ab+bc+ca的最小值為2。

點(diǎn)評(píng):由已知條件可知a,b,c中不會(huì)有兩個(gè)同時(shí)為0,因此,此解法的亮點(diǎn)是通過對(duì)分母放縮,使“異分母”的三個(gè)分式轉(zhuǎn)化為“同分母”,從而使條件等式恰好得到利用。

點(diǎn)評(píng):所求式的分母出現(xiàn)了非齊次的形式,給解題增添了難度,加上所求式與條件式的差異較大,解題容易陷入困境。面對(duì)所求式的結(jié)構(gòu),即使想到柯西不等式,也無濟(jì)于事,因?yàn)?/p>

綜上,課本例題中隱含著極其豐富的智力資源,只要我們?cè)诮忸}時(shí)加以有效利用,就能快捷高效地提升解題素養(yǎng)與核心能力。

(責(zé)任編輯 徐利杰)