基本不等式知識結構與拓展

■河南省鄲城縣第一高級中學 彭梅榮

基本不等式知識結構與拓展

■河南省鄲城縣第一高級中學 彭梅榮

一、知識結構框架

二、結構分析

基本不等式是高中數學知識的難點,也是高考重點考查的知識點之一。基本不等式可以表述為:兩個非負數的等差中項不小于它們的正等比中項,當且僅當兩個數相等時,取得等號。基本不等式常用于求最值,解決此類問題往往需要構造兩個數的和為定值或積為定值。常用的解題技巧有:添項、拆項、平方、湊系數、常值代換和分離常數等。另外,基本不等式也會與函數、數列等知識相結合進行命題,常以求參數范圍、比較大小、證明不等式等形式呈現。

三、實例分析

分析：消元(消去x或y)或將x+2y視為一個整體,使用基本不等式。

解法2：由x+2y+2xy=8得,2xy=8-(x+2y)。因為2xy=x·2y≤(當且僅當x=2y時 ,等號成立),所以8-解得x+2y≥4或x+2y≤-8。又因為x＞0,y＞0,所以x+2y的最小值為4。

小結：以上兩種解法都用到了基本不等式,容易出錯的地方是解題后忘記檢驗等號成立的條件。解法1的突破點是消元,分離常數;解法2的突破點是將x+2y視為一個整體,構造滿足基本不等式的條件。

分析：求出定點P的坐標,將其代入直線方程得m與n的關系式,常值代換后可利用基本不等式解題。

解：令x+3=1,得x=-2,所以點P坐標為(-2,1),代入直線mx-ny+4=0得2m+n=4。又因為m·n＞0,所以n=2時,等號成立。

小結：已知兩個變量和的形式為定值,又涉及求最小值時,往往使用常值代換,結合基本不等式求解。

變式2：設x＞0,y＞0,且x+3y=5xy,求3x+4y的最小值。(答案:5)

分析：分離出參數λ,把恒成立問題轉化為最值問題,利用基本不等式求最值。

解：因為a,b∈R,所以可以分三種情況進行討論:

(1)當b(a+b)=0時,λ∈R。

綜上,實數λ的取值范圍為-8≤λ≤4。

小結：本題容易出錯的地方:一是忽略對b(a+b)的符號進行討論,二是忽略使用基本不等式的前提條件(一正、二定、三相等)。另外恒成立問題和有解問題也是高中數學的重要題型,兩者均轉化為求最值問題,求最大值還是最小值,要結合不等式的方向來看。

分析：可以先對所求式子平方,消元,拼湊系數,然后利用基本不等式求解。

小結：解決本題的關鍵是將所求式子平方消元,最容易錯的地方是最后結果忘記開方。當兩個變量有某種關系時,可考慮消元,消元后發現式子的和為定值,可以考慮用基本不等式求最值。另外,對本題也可平方,消元,然后將x2視為一個整體,利用二次函數求最值。

四、跟蹤練習

1.當x∈(0,1)時,求函數y=x·(1-x)2的最大值。

函數y=x·(1-x)2的最大值為

小結：求解本題的關鍵是將(1-x)2看成(1-x)·(1-x),拼湊系數后可以發現三個數的和為定值,而求的是它們積的最大值,此時可以考慮用不等式。

(責任編輯 徐利杰)