新課改下高中數學中圓垂徑定理的分析

董存厚

摘要：圓部分是高中數學中極為重要的一部分，也是高考重點考察對象之一，其延伸出來的題目也是千變萬化。本文將從垂徑定理的角度出發分析圓這類型題目的解法，旨在為廣大高中數學教師提供一些參考。

關鍵詞：高中數學 圓 垂徑定理 例題解析

1 圓的垂徑定理及其重要性分析

圓在高中數學中占據著極為重要的位置，在高考數學中所占的比例也是相當之大的，其一直是高考的核心內容之一。從近年來的考察分析來看，高考對圓部分的要求越來越高，因而在日常的學習和圓部分的訓練一定要循序漸進，掌握層次。這就需要咱們的學生在對知識有一定掌握的同時，必須要讓學生能夠對相關知識能進行進一步的靈活應用，在解決較為困難或綜合性較強的問題的同時， 能夠發散自己的思維。 解題的高效，靈活， 快捷，方便。有的人會說，解析幾何的本質就是在于引導學生使用代數法對幾何圖形的性質進行相關的研究， 使幾何問題代數問題兩者之間能夠相互轉換， 一旦只是一味的使用純代數進行相關的運算，方式方法的選擇不得當的話，解析幾何的運算量將會有明顯的增大，學生的解題正確率就會很明顯地下降，常常會因為運算太繁瑣半途而廢，也常常會因為運算的失誤功虧一贊。

在高中數學的幾何教學中，數形結合的思想無疑是最重要的數學思想之一，數形結合的典范很大一部分來自于解析幾何，能夠進一步體現數形結合的數學思想，學生若是能夠對幾何圖形進行深入研究會發現，數的嚴謹性與形的直觀性能在這一思想中得到充分的發揮。

2 垂徑定理證明

如圖1 ，在⊙O中，DC為直徑， AB是弦，AB⊥DC于點E，AB、CD交于E，求證：AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD= 弧BD

圖1垂徑定理證明圖

證明：連OA、OB分別交于點A、點B.

∵OA、OB是⊙O的半徑

∴OA=OB

∴△OAB是等腰三角形

∵AB⊥DC

∴AE=BE，∠AOE=∠BOE（等腰三角形的三線合一性質）

∴弧AD=弧BD，∠AOC= 角BOC

∴弧AC=弧BC

3 題型分析

3.1 常規題

已知圓C：（x-1）^2+y^2=9 內有一點P（2，2），過點P作直線L交圓C于A、B兩點.

（1）當弦AB被點P平分時，求直線L的方程。

（2）當直線的傾斜角為45°時，求弦AB的長。

（1）當弦AB被點P平分時

圓心C與點P的連線必然與AB垂直

所以得到AB的斜率

k=-1/2

y-2=-1/2（x-2）

x+2y-6=0

（2）直線l的傾斜角為45°，直線AB的方程y=x

求圓心（1，0）到直線y=x的距離為1/√2

利用垂徑定理，得|AB|=2×√34/2=√34。

3.2 兩圓相交，巧用垂徑定理

圓c：x2 +y2=2，過P（1，1）作兩條相異直線與圓分別交于A，B兩點，直線PA和PB拘傾斜角互補，判斷直線OP與AB是否平行？若是，請給出證明；若不是請說明理由

解 過點P作y軸的平行線，與圓C交于點Q，則Q（l，-l）因為直線PA和PB的傾斜角互補，所以直線PA、PB關于直線Po對稱，即角APQ=角BPQ所以，AQ= BQ，所以，oo垂直平分AB.因為直線OQ'的斜率為-l，直線OP的斜率為l，所以OO垂直OP，所以OP與AB平行。

3.3 橢圓化圓，運用垂徑定理簡化過程

橢圓的問題通常采用二次方程的根與系數的關系或引入參數來求解，但常常導致運算上的繁瑣和消參的困難，而圓的有關問題卻更容易解決。圓和橢圓具有明顯區別，但又有必然聯系。對于圓來說，利用垂徑定理和點到直線間的距離公式，可以極大地簡化計算量。將橢圓轉化成圓，是利用了點與曲線、曲線與曲線的位置關系在這一變換下的不變性。

先對橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1做x=ax'，y=by'的坐標轉換。在這種轉換下，xoy平面內的任一點P（x，y）轉換為x'o'y'平面內的點P'（x'，y'）。橢圓方程x^2/a^2+y^2/b^2=1也就轉換為x'o'y'平面內的單位圓x'^2+y'^2=1。但是要注意，被轉化的橢圓的方程是標準方程。【橢圓的一般方程（高中不接觸）經坐標變換總可以化為標準方程，當然我們接觸的都是標準方程】還要注意要將結果完全還原。常見的問題會有：判斷直線和橢圓位置關系，常規解法應該是直線與橢圓方程聯立根據方程解的個數來判斷直線與橢圓的位置關系。但如果把橢圓圓化，此問題便轉化為直線與圓的位置關系了。因而，對上面問題的證明通常情況下可進行如下處理：一般化情況下，直線Ax+By+C=0與橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1的位置關系討論（也是一個定理）如前所述，首先作變換x=ax'，y=by'，那么直線和橢圓分別轉化為直線aAx'+bBy'+C=0和單位圓x'^2+y'^2=1。得到圓心到直線距離公式d=|C|/√（a^2A^2+b^2B^2）。（這個公式是不改變的）原來的直線和橢圓相交，就是轉化后的直線和圓相交，那么d0。同理，直線和橢圓相切，就是轉化后的直線和圓相切，a^2A^2+b^2B^2-C^2=0；直線和橢圓相離，a^2A^2+b^2B^2-C^2。

4 結論

通過第一節的論證我們知道垂徑定理在橢圓里也是可以使用的，而且從第二節中的分析我們可以看出：如果使用得當那么垂徑原理對簡化運算有著很大幫助，此外在雙曲線中垂徑原理也可以得到一定的運用。讀者可自行嘗試。

參考文獻：

[1] Kaufmann H，Schmalstieg D.Mathematics and geometry education with collaborative augmented reality[J].Computers&Graphics;，2003，27（3）：339-345.

[2] 唐天曉.由一道習題想到的―― 垂徑定理等性質的應用[J].中學課程輔導：初三版，2004（9）：13.

[3] 袁亞平.競賽中與“垂徑定理”有關的證明題[J].中學生數學，2006（12）：26-27.

[4] 石高安.數形結合，例談垂徑定理在橢圓問題中的高效作用[J].數理化解題研究：高中版，2013（4）：10-11.

[5] 王方.圓的垂徑定理的推廣―― 橢圓， 雙曲線的性質探究及應用[J].高中數學教與學，2004（8）：48-49.