基于高考課標卷談數學抽象對學生素養培養的重要性

劉連橋

摘 要：數學素養在數學學習中至關重要，是當代學生最基本的素養。如何理解并提高數學抽象這一數學核心素養，高考如何實現數學抽象這一核心素養的考查。本文對2015和2016年的高考數學新課標題目進行分析，淺談數學抽象在高考試題中的考查形式，并分析數學抽象對學生素養培養的重要性。

關鍵詞：數學抽象；核心素養；素養培養；數學新課標

一、 數學抽象的內涵

通常所說的抽象，是指在認識事物的過程中，舍去事物個別非本質的屬性，進而抽取出本質屬性的過程和方法。數學抽象是指通過分析、觀察、研究，拋開事物偶然的、外部的、表象的東西，抽取事物最本質、最內在、最必然的東西，從數量關系和空間形式上揭露事情的本質和客觀規律的一種具體的數學研究方法。通常，數學抽象中具有以下具體表現：首先，形成具體的數學概念和相應規則；其次，形成具體的命題和相應模型；最后，形成確切的數學方法具體思想。

二、 處于核心素養地位的數學抽象

教授鮑建生曾在文章中寫道，高中數學課程的修訂聚焦數學的核心素養問題上來，當前我國的數學教育主要針對三大能力以及四基四能最后到核心素養培養；同時其指出青年學生培養數學抽象有利于把握高中數學的重難點，有利于培養更進一步的數學能力，提高對數學問題的研究和分析能力，進而加深對數學抽象的理解和掌握。史寧中教授在數學抽象上也有自己的深刻見解，該教授曾作為義務教育課程標準的修訂組長，其看法直接影響高中數學課程的修訂標準，同時史老還提出了抽象是將數學知識導入數學內部、推理促使數學內部發展、模型溝通數學與外部的聯系等一系列重要思想。

三、 數學抽象在高考題目中的考查

數學抽象貫穿在數學的產生、發展和應用過程中，是數學的基本思想，反映了數學的本質特征，是形成理性思維的重要基礎。近年來，高考題目中對數學抽象考查屢見不鮮，要求考生牢固掌握“三基”，認識數學的學科價值和人文價值，掌握數學知識與技能，形成數學能力，能從數學的角度用數學的方法認識問題、分析問題、解決問題。筆者為準確分析數學抽象在高考題目中的考查形式以及考查方向，選取了2015和2016年的全國高考課標卷試題進行分析和總結。期望廣大考生能夠更好的理解數學的概念、命題、方法和體系，理解學科的知識結構和本質特征，形成舉一反三的能力，加強數學抽象核心素養的培養，建立良好的數學抽象能力，理解知識的本質和發展規律。

四、 基于數學抽象的技能素養考查

高考課標明確指出，數學課程必須重視運算，具有作圖、分析、推理以及處理數據等能力。其中技能素養是通過基本技能的訓練、總結，進而慢慢形成的一種數學思維方式。要求考生注意掌握必備知識，挖掘數學思想，培養核心素養，專注典型試題的研究。

【評析】 例1的第（Ⅰ）問是求該數列的通項公式，考查數列的基本定理、初等數列的求解公式以及數列的基本運算能力和推理能力，其從側面考查了數學抽象在數列中的運用。第（Ⅱ）問是考查裂項相消法的運用，學生需要精通數列求解，能根據每項的前后抵消原理，求出{bn}的前n項和，該過程要求學生具有較高的計算能力和求解能力。

《考試大綱》指出，高考試題在考查目標要注重必備知識、關鍵能力、學科素養、核心價值的考查。對數學抽象技能素養的考查可以有效考查學生的推理判斷能力以及求解計算能力，對考生的數學關鍵能力提出了較高的要求，凸顯數學學科價值。由此可以看出近年來數學抽象的培養對學生素養的培養是十分重要的，不僅時時刻刻出現在高考題，還需要學生能夠熟練掌握，因此加強學生的素養培養顯得格外重要，隨著未來高考招生的變革，要求考生具備更高的學科素養和學科能力，在今后的學習中對數學核心素養的培養還需更上一層樓。

五、 基于數學抽象的思維素養考查

核心素養是對學生進行數學思維和語言的教育，使學生能運用數學的思維和語言進行閱讀、運算、推理和表達。思維素養是在學習數學知識和數學技能的過程中日積月累而形成的，它解決問題的策略更加明確。思維素養的培養主要體現在解決問題的途徑、解決問題的方式以及分析問題等方面，高考課標也明文規定，思維素養要從深刻性、靈活性、創造性、廣闊性等四個方面進行考查。

【例2】 （2015新課標Ⅰ理數20）在直角坐標系xOy中，曲線C：y=x24與直線l：y=kx+a（a>0）交于M，N兩點。

（Ⅰ）當k=0時，分別求C在點M和N處的切線方程；

（Ⅱ）y軸上是否存在點P，使得當k變動時，總有∠OPM=∠OPN？并說明理由。

【評析】 例2的第（Ⅰ）問主要是給定具體的斜率，求拋物線的切線，該題是考查學生的計算能力，同時需要運用直線的基本方程以及拋物線的基本形式和定義。第（Ⅱ）問是求動點問題，需要考生具有很強的推理判斷能力和想象能力。動點問題是高考經常考查的題目，需要加深對數學抽象的理解。對高考考生而言，深入研究才能適應當前的高考題目形式，不僅需要明白數學抽象在類似的題目中的考查形式，還需要了解數學抽象在此類題目中的應用范圍。

六、 基于數學抽象的知識素養考查

發揮數學內在的力量，做好數學教育的分內事，這是培養學生核心素養的必由之路。用數學的眼光觀察世界，數學的思維分析世界，數學的語言表達世界，數學的知識素養是數學抽象培養的核心載體。知識素養主要包含知識系統內和知識系統外的知識。中學階段的知識主要是基于課本的概念、定理、公式、推論等規律性知識，外在知識包括學生自己在學習過程中自己發現的知識，與書本知識形成互補，從而提高學生的知識素養，促進學生的全面發展。

【例3】 （2015新課標Ⅱ理數6）正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖，則截去部分的體積和剩余部分體積的比值是（）

A. 18B. 17C. 16D. 15

【評析】 本題目是新課標全國卷Ⅱ的一道選擇題，通常數學抽象在選擇題目中的考查形式多半以考查想象能力為主，表現為考查空間想象和平面想象，該題結合了立體幾何的知識，考查考生對體積的理解和掌握。首先，數學抽象在此題得到了巨大的體現；其次，正方體的計算公式，三棱錐的計算公式會在此題中同時被使用，因此該題目的遷移很廣，需要學生有很強的遷移能力、計算能力以及空間想象能力。

七、 基于數學抽象的遷移素養考查

數學抽象往往表現出以下特點：在認識問題時，能將已有的嚴格的數學概念、知識等廣義化，用于認識和解決數學實際問題，具有普遍遷移，廣泛輻射的功能，即要求具備知識遷移能力，注重遷移素養的培養。遷移能力是知識素養和思維素養的集中體現。學生將所學到的知識以及思維從某個場景遷移到另外的場景，是建立在一定的知識結構和思維上的，高考考綱也規定，學生需具備舉一反三的能力，也就是能將所學的方法遷移至學習生活中的領域。

【例4】 （2016新課標Ⅰ理數17）△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c。

（Ⅰ）求C；

（Ⅱ）若c=7，△ABC的面積為332，求△ABC的周長。

【評析】 三角函數和解三角形一直以來都是高考的重點。本題第（Ⅰ）小問很嚴謹，考生需要具備十分扎實的知識功底和運算能力，要求考生有全局觀，方可完整解出此題。第（Ⅱ）個小問主要考查解三角形和三角函數的聯系，考生需要分析該題目的內在聯系和外在聯系，通過內在聯系和外在聯系相結合，從而解決該題。解出第（Ⅱ）個小問更需要一些觀察能力和判斷能力以及一定的邏輯思維，解決該問題具備較高的計算能力是前提。根據上述分析，近年全國卷的趨勢完全向數學抽象靠攏，而且呈上升趨勢，同時在考試中的比重占得比較大，因此在目前的高考形勢下，學生必須具備高水平的數學素養才能適應當今的政策和形勢。所以，數學抽象對學生素養的培養顯得相當重要。

八、 基于數學抽象的運算素養考查

運算求解能力是數學素養的必備能力，運算素養是數學抽象中最重要的素養，是數學抽象整體素養的集中體現，擁有良好的運算素養是做題乃至高考中最為關鍵的一步，即便具備任何素養，但是運算素養不過關，那也是不合格，可以說最終的高考會功敗垂成。因此，良好的運算素養是十分重要的，要求廣大考生明晰運算對象，掌握運算法則，探究運算方向，選擇運算方法，設計運算程序，回歸本質，固本守正，守正出新。

【例5】 （2016新課標Ⅰ理數20）設圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過點B（1，0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過點B作AC的平行線交AD于E。

（Ⅰ）證明|EA|+|EB|為定值，并寫出E的軌跡方程。

（Ⅱ）設點E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點，過點B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍。

【評析】 該題第（Ⅰ）個問主要考查定值問題，解此題需要具備良好的運算能力，以及具備一定的遷移能力。然而第（Ⅱ）小問就相對困難，要求考生具備非常高的運算能力和推理能力，其中運算量十分龐大，考生需要具備一定的耐心才能完整解出此題。

以“例題講解+模仿練習”的方式讓學生“不斷重復昨天的故事”，其結果是挫傷學生的數學積極性，事倍功半，影響學生的數學學習興趣和自信心，培養學生核心素養就成為一句空話。高考對于數學抽象的考查越來越頻繁，對運算求解能力提出更高的要求，為適應當前的高考形勢，培養和發展運算素養勢在必行。注重通性通法的研究，普及算理，優化算法，讓學生正確理解數學知識，用數學知識合理解釋直至創造性地解決問題。

九、 結束語

數學素養是數學課程目標的集中體現，基于對近兩年高考試題中數學抽象的考查形式進行分析，不難發現對數學抽象的考查，考查形式多種化，考查內容豐富化，因此，對于廣大考生而言，想提高自己的數學成績，必須著實提高自身素養的培養，只有將自身的數學素養提高，才能跟上或者趕超高考時代的步伐，在考場上發揮出自己應有的水準，取得令自己滿意的高考數學成績。同時，也要求廣大數學教育工作者改變課堂教學方式，拓寬學生思維空間，將課堂從知識轉向能力，從能力轉向素養。

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