用深度衡量的價值

何承生

摘 要：反思這幾年的高中數學新課程改革，教育理念的改變，對教師的教學提出了更高的要求。學習數學為了什么？從學生長遠發展看，不應該只為了成績，還需要學習更多文化的內涵，這需要從教師自身的改變開始。首先對數學的核心概念要有正確且深刻的理解，才會提高教師對數學的表達能力，促使教學的進步，進而影響學生，提高學生數學素養，教育也會更有價值。

關鍵詞：核心概念；思維；價值

高中新課標從開始實行到現在，已經過去很長時間了。從實行開始，我剛大學畢業站到三尺講臺，對數學的認識還很膚淺，所以那時對所提的“中學數學核心概念教學”的說法，并沒有提起我的注意力，一直以為，只要把課上好，提高學生數學成績就好。那時我評價課堂好壞，注意力在學生成績，所以課堂總是一味追求習題訓練。

雖然成績很重要，但用一種灌輸式的教學，能有多少的生命力呢？學生畢業了，高中的數學知識就漸漸淡忘，多年數學學習留給學生什么呢？難道學生學習這么長時間的數學，只為高考的一個數字？教數學，是為培養學生的思維，數學知識作為思維的載體容易遺忘，但數學思維對學生還是有著長遠的影響。

該如何培養學生的思維？抓住數學概念，引導學生對核心概念的理解，就是一個很好的方法。因為“數學概念高度凝結著數學家的思維，是數學地認識事物的思想精華，是數學家智慧的結晶，蘊含了最豐富的創新教育素材。數學是玩概念的，數學是用概念思維的，在概念學習中養成的思維方式、方法遷移能力也最強。所以數學概念教學的意義不僅在于使學生掌握‘書本知識，更重要的是讓他們從中體驗數學家概括數學概念的心路歷程，領悟數學家用數學的觀點看待和認識世界的思想真諦，學會用概念思維，進而發展智力和培養能力。”

一、 數學的根本在于對概念的準確理解

中國科學院數學與系統科學研究院研究員李邦河院士認為數學根本上是玩概念的，不是玩技巧。技巧不足道也！開始看到這句話時，不以為然，但隨著對教學的深入認識，才體會到李院士的話是多么的正確。很多課堂以解題教學代替概念教學，盡管對學生的知識掌握是有好處的，但從宏觀層面去評價這種教學形式，似乎顯得比較低俗、平庸，美感層次低。練習再多，方法教得再多，都不能展現數學的魅力。

對未知的渴求，激發了很多數學家的求知和探索。古希臘時期出現了很多對后世影響深遠的哲學家和數學家，如泰勒斯、畢達哥拉斯、芝諾、蘇格拉底、柏拉圖、亞里士多德等等，我國古代也有不少偉大的數學家，比如劉徽、賈憲、秦九韶、祖沖之等。可那時候科技水平和生活水平都很低，紙筆都很少，對數學的研究肯定不是現在的“題海戰術”模式。我想肯定基于對數學核心概念的正確而深刻的理解，在研究討論中又發現了新的結論，升華了數學的核心概念，這就是對數學的美探索的結果。相反現在，我們那么多人在學數學，做了大量的數學習題，但如果大量做題有用，那么人人都將成為數學家。很多時候做題只是枯燥的重復，是為掌握解題技巧的反復練習，沒有從本質上提升對數學的認識。很多人說學好數學要靠練，這里所謂的學“好”，應該是提高數學成績。雖然提高數學成績與提高學生的素質沒有矛盾，但好的本質已經不一樣了，我這里強調的學“好”，不僅體現在成績上，還有更深的內涵。

但教育理念在變，教學模式的改變似乎顯得有些滯后，因為學生和教師都已經習慣了“千錘百煉”的做題，而這種練習，早已經掩蓋了數學作為一種文化的體現，數學沒有文化，當然就沒有魅力，當然就枯燥了。我多么地希望我們的數學課堂有一種文化底蘊，像詩歌般一樣，每一個字母和公式的出現，都散發著濃濃的一種迷人的氣息！但沒有對核心概念的深入研究，就沒有思想上的改變，如何提高自身的數學文化！所謂“熟讀唐詩三百首，不會作詩也會吟”，所以，加強對核心概念的學習，轉變教學模式，是迫切需要的。

二、 如何提高對核心概念的理解

概念是從感性認識上升到理性認識的突破口，是認識過程的一個飛躍，正確理解數學概念是掌握數學基礎知識的前提。雖然數學概念教材上都有清晰的表述，但表述可能不夠直白，需要執教者給予生動的講解。我不妨做個比喻，在學習一個數學概念前，數學概念就像一幢未裝修的房子，如果我們裝修得好，房子才會有美感。一個不懂裝修的人怎么可能會把房子裝飾漂亮呢？教育也是如此，執教者首先對數學概念有正確的認識。

1. 關注概念的形成過程，貼近學生的最近發展區

人和機器還是有別的，學習一個概念時，學生會自發的處理概念，不會同老師傳授的一模一樣。比如研究函數的單調性，如果要學生去證明，部分學生在作答時會取兩個特殊的點作比較，再根據兩個點的函數值大小判斷函數的單調性。不能簡單的就否定學生的思考，只是他對知識的處理還不夠嚴密，他完全是站在自我的立場上，憑自己的感性經驗進行知識的建構。這種感性的經驗很隱蔽，如果我們不關注概念的形成過程，就不能啟發學生的積極探索，學生的注意力又被牽引到技巧上的研究，學生對知識的錯誤認知也許就會繼續被強化。為了增強教學環節的目的性，積極關注概念的形成過程，激發學生學習動機，明確知識的來源和解決方向，貼近學生最近發展區，增強師生互動，有助于提高教學質量，有利于學生知識的建構和思維的培養。

2. 思考研究的必要性

數學概念高度凝結著數學家的思維，很多問題的研究過程都沒有完整展示出來，如果只注重知識掌握，忽略知識根源的探索，忽略問題研究的必要性，長久下去，學生的數學就缺少了一種靈魂，缺少了一種文化，只知道使用，這并不是學習的目的，時間久了，對知識就生疏就遺忘了。

我們為什么要吃飯？生理上的需求就已經告訴了我們答案。但我們為什么要學習？為什么要學集合、函數、函數的性質等等？沒有必要性的研究，知識魅力的磁性就無法吸住學生的好奇心，無法激發學生對數學的愛好，最后導致學生思維得不到高層次訓練。

興趣是最好的老師，如果能夠引導學生對數學產生濃厚的學習興趣，那么無疑會起到事半功倍的效果。教師在數學教學過程中應教會學生學會學習、學會創造，而不僅僅是簡單地向學生灌輸數學知識，否則會導致他們片面地、機械地考慮問題，也極易抹殺學生學習數學的興趣。學習越長久，危害也會更長久，因為學生往往處在一種被動的地位，習慣了接受而不問為什么，自然缺乏來自自身的動力和內驅力，對一個學生創造力的培養是有害的，那么我們的教育就是在樹木，而不是在樹人！

3. 教師自身加強學習，認識教育深度，提升教育理念

教師教學生讀書，首先自己也要讀書，陶行知先生在《教師自己主動進修》中指出：“有些人一做了教師，便專門教人而忘記自己也是一個永久不會畢業的學生。因此很容易停止長進，甚而至于未老先衰。只有好學，才是終身進步之保險，也就是常青不老之保證。”曾經以為高中數學的內容基本是穩定的，辛苦教學一兩屆，便輕松了，可以“啃老”了，上課不用備課了，社會上不少人也有這種想法。然而隨著教學經驗的豐富，教學年齡的增長，問題的認識也在改變，如果滿足于現狀不思進取，也許淘汰也是必然的。所以教師要有活到老、學到老的進取精神。

數學老師難道只是為了教會學生解題，教會他們如何考高分？這里也存在著對教師職業的理解。如果只是教會解題，那么教師頂多只是一個教書匠，提升不到教育的高度，在這種思想下工作，就會經久隨俗，自甘平庸。我們的老師也需要一種文化的熏陶，提升教育的精神境界和專業素養。

雖然同為教師，但有時對一個問題、一個概念的理解卻不盡相同，多樣化的理解我想應該是提倡的，但必須是正確的理解，理解要有深度。要想“創造性地使用教材”，首先就要深刻理解教材，但教材內容似乎比較單薄，讀不出什么內容，所以，需要主動去學習。

現在要尋找什么資源，真的太方便了，直接在網上搜索，就可以找到很多我們需要的資源，給我們的學習帶來了極大的方便。別人花很長時間研究出來的成果，你可以在很短的時間內學習，再結合自己的認識，也許，對一個概念的把握，會更加專業一些，潛移默化間，對教育的認識，也會慢慢改變。

學習、思考多了，就會提升我們對數學概念的理解，不經意間就流露在你的言行當中，展示著你的數學文化；反過來，因為你的認識提高了，便帶動了學生更深層次的思考，數學的價值，就在于數學的深度。

三、 嘗試教學模式的改變

教師自身提升了教育理念，加深了對數學概念的理解和認識。如果不改進教學模式，還是一味的老師講、學生練，核心概念教學還是成了紙上談兵，沒有從對老師的改變轉移到對學生的改變上。你對一個概念所經歷長時間的思考，這個思考過程學生無法復制，你也不能代替學生思考，就算講得再多再到位，經過學生的過濾，還是模糊的，如同牛頓給李時珍講萬有引力，錢學森給姚明講火箭發射，很多原理無法深刻體會，只見樹木，不見森林。

課堂教學模式的改變，是為了給師生互動搭建一個更寬廣的平臺，提高學生的學習主動性，培養學生的數學思維，當然，也對老師提出了更高的要求。因為，給了學生更多的獨立性和自主性，那么在引導學生質疑、探究的過程中，便會出現更多的不可預知的問題，可能會打亂或者干擾教師原本的判斷，如果教師不能及時矯正，發現問題本質，那么師生互動就失去了意義。雖然如此，教師也要有勇氣大膽嘗試，很多進步就來自于嘗試改變。

教學模式的改變，并不是讓學生表面上的主動，而是一起要調動學生學習的積極性，充分挖掘學生學習的潛能，這需要教師提出高質量的問題，這些高質量的問題來源于哪里？一個比較好的方法就來源于對核心概念的思考過程中。

只有對核心概念的正確和深刻的理解，才會提出高質量的問題。以問題帶動學生學習，改變學生被動機械的學習狀況，真正意義上提高課堂教學效率。所以說，教師自身加強學習，提高了對數學核心概念的理解，這些理解激發了教學靈感，提高了教師提問的水平。反過來，這些問題又增強了學生的參與意識，帶動學生經歷自主學習的過程、經歷知識的形成過程、經歷概念的提煉過程，培養學生自主探究科學知識的能力，這才是給學生真正有用的財富。有句古話說得好：“授人以魚，不如授人以漁”，是不是就在說這個道理？

所以，學習思考數學的核心概念，加深理解，從而豐富數學概念，才會提高對數學知識的表達能力，才會提高知識的展現力，對教學的促進還是非常有幫助的。

四、 嘗試評價制度的改變

我感覺現在的學生不夠大氣，遇到困難無從下手，只重結果輕過程，甚至連自己的時間都不會自主安排。在他們當中，很少有能獨立發表看法意見的，缺少主觀分析能力。這一切，是不是跟我們現在長期的大量練習而缺少探知有關？如果多關注概念教學，多啟發學生的認知，也許在未來，學生的解題能力在下降，但對數學的理解會深刻很多，而不是現在所謂的：學好數學要靠大量練習。花了那么多時間做了大量的試題，只是為了掌握或者鞏固更多的解題技巧，大家都在練技巧，而練習都是一種模仿，還說不上什么思維深度，對一個人的影響深度就不夠。

當然，我也迫切希望，我們的高考評價體系會有改變，考試的模式也有所改變。雖然我們在批評老師們的滿堂灌，但是不是可以認為這是在現有高考評價體系下的一個不斷被強化的產物？

古希臘哲學家柏拉圖認為：數學是以獨立的實體形式存在于“理念王國”之中，人們只有通過數學才能領悟到世界的真諦。但是你能看到世界里的數學嗎？有些價值，用等級來衡量，比如學歷；有些價值，用地段和大小來衡量，比如房子；有些價值，用重量來衡量，比如黃金；但數學的價值應該用什么來衡量，我覺得，應該是深度，只有看到數學的深度，才會體會到數學是有用的、數學是美的，才會感受那句話“萬物皆數”。

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