高考中數列求和題型歸納與方法總結

薛寶娜

數列求和是數列的一個重要內容，雖然教材中只講解了兩類特殊數列，即等差數列與等比數列的前n項和，但數列求和問題能考查學生對數列的整體認識，對通項公式的理解，體現等價轉化這一重要數學思想，同時還可以考查學生分析問題和解決問題的能力，故本文重點歸納2017年高考中數列求和問題的解決方法.

一、公式法

對于一個普通的數列，若通過轉化構造后，可轉化為等差或等比數列，則直接利用等差數列或等比數列求和公式求和.

例1 （2017年全國1卷·文）記Sn為等比數列an的前n項和，已知S2=2，S3=-6.

（1）求an的通項公式；

（2）求Sn，并判斷Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差數列。

解析（1）an=a1·qn-1=-2n

（2）由（1）得sn=a1（1-qn）1-q=-21--2n1--2=23-2n-1.

點評：本題求解的關鍵是求出數列an的通項公式，由于an為等比數列，直接利用等比數列求和公式求和.

二、錯位相減法

錯位相減法主要用于一個等差數列與一個等比數列對應項相乘所得的新數列求和問題，這種方法運算過程復雜，運算量大，學習中應加強對解題過程的訓練，重視運算能力的培養.

例2 （2017年天津卷·文）已知an為等差數列，前n項和為sn（n∈N*），bn是首項為2的等比數列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4-2a1，s11=11b4.

（1）求an和bn的通項公式；

（2）求數列a2nbn 的前n項和（n∈N*）.

解析（1）an的通項公式為an=3n-2，bn的通項公式為bn=2n.

（2）設數列a2nbn的前n項和為Tn，由an=3n-2，有

Tn=4×2+10×22+16×23+···+（6n-2）×2n，2Tn=4×22+10×23+16×24+···+（6n-8）×2n+（6n-2）×2n+1.上述兩式相減，得-Tn=4×2+6×22+6×23+···+6×2n-（6n-2）×2n+1=12×（1-2n）1-2-4-（6n-2）×2n+1=-3n-42n+2+16.所以，數列a2nbn的前n項和為-3n-42n+2+16.

點評 錯位相減法也是等比數列求和公式的推導方法.利用此方法求解由等差數列an和等比數列bn對應項之積組成的數列的前n項和. 通過對求和公式同乘以數列bn的公比，再與原式錯位相減后，左邊化為Sn的形式，右邊化為可求和的形式.

三、裂項相消法

裂項相消法主要用于通項為1anan+1型數列的前n項和問題，其中an若為等差數列，變形可得1anan+1=1d1an-1an+1，從而將通項分裂成2項之差，通過相加過程使部分項相互抵消，最后剩下有限項的和.

例3 （2017年全國2卷？理）等差數列an的前n項和為Sn，a3=3，S4=10，則∑nk=11Sk=.

解析 設an首項為a1，公差為d.則a3=a1+2d=3，s4=4a1+6d=10.解得a1=1，d=1，則an=n，sn=nn+12.

∑nk=11sk=21×2+22×3+···+2nn-1+2nn+1=21-12+12-13+···+1n-1-1n+1n-1n+1=21-1n+1=2nn+1.

點評 利用裂項相消的方法求和時，應注意抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩2項，后面也剩2項，再就是將通項公式裂項后與原不等式不等，需要調整前面的系數，如1n（n+2）=12（1n-1n+2）.

四、分組求和法

有些數列既不是等差數列，也不是等比數列，但對其通項進行拆分或變形后可轉化為幾個等差、等比數列或常見數列的和或差的形式，可對各特殊數列分別求和，然后再合并.2017年高考沒有考查分組求和，2016年只在一道證明題證明的過程中考查到，但這種求和方法很好，在此選了2015年的一道高考題，對這種方法進行歸納總結.

例4 （2015福建卷）等差數列an中，a2=4，a4+a7=15.

（1）求數列an的通項公式；

（2）設bn=2an-2+n，求b1+b2+b3+···+b10.

解析（1）數列an的通項公式為an=n+2.

（2）由（1）得，bn=2n+n，所以b1+b2+b3+···+b10=（2+1）+（22+2）+（23+3）+···+（210+10）=（2+22+23+···+210）+（1+2+3+···+10）=2（1-210）1-2+（1+10）×102=（211-2）+55=2101.

點評 求數列前n項和，首先考慮其通項公式，根據通項公式的不同特點，選擇相應的求和方法，本題bn=2n+n為“等比+等差”型，故可采取分組求和法求其前10項和.

數列求和的方法靈活多變，還有一些方法在高考中出現的較少，如倒序相加法、數學歸納法等.總之，數列求和是高考重點內容之一，能有效考查考生對數列的整體把握及解題中的轉化能力，靈活把握數列的數字特點，活用各種方法是順利解決問題的關鍵.

（作者單位：甘肅省鎮原縣平泉中學 744500）endprint