2017年高考中解三角形問題的解題策略分析

薛寶娜

摘要：解三角形問題不僅綜合運用了三角函數(shù)恒等變形的公式有關(guān)內(nèi)容，還綜合運用了正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式，基本上涵蓋了三角函數(shù)的所有內(nèi)容，所以它也就成了高考的重要內(nèi)容.本文從以下幾方面談解三角形問題的常用解題策略.

關(guān)鍵詞：解三角形 ；解題策略；正弦定理；余弦定理；2017高考

隨著高考改革的逐步深入，解三角形部分由原來的單一方面的考查向綜合性和實踐性過渡，對教師教學和學生的學習提出了更高的要求.現(xiàn)將這部分高考常考題型及解題策略煩人總結(jié)如下，供大家參考.

一、直接求解

例1（2017年全國1卷·文）△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c.已知sinB+sinA（sinC-cosC）=0，a=2，c=2，則C=_____

解析 由題意得sinA+C+sinAsinC-cosC=0，所以sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0，即sinCsinA+cosA=2sinCsinA+π4=0，所以A=3π4.由正弦定理asinA=csinC得2sin3π4=2sinC，即sinC=12，得C=π6.

例2（2017年全國2卷？文）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，則B= .

解析 由正弦定理asinA=bsinB=csinC得，2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA，即2sinBcosB=sinA+C=sinB，所以cosB=12，所以B=π3.

例3（2017年全國3卷？文）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c。已知C=60°，b=6，c=3，則A=_________.

解析 由正弦定理得csinC=bsinB，所以sinB=bsinCc=6sin60°3=22，所以∠B=45°，所以∠A=75°.

點評 上述3個題目都是2017年高考全國卷文科題目，都是選擇或者填空題，解題思路基本相似，都直接用正弦定理求解，屬于基礎題.由此可見在文科卷里只考小題不考大題.

解題策略 在解三角形的試題時，要弄清楚三角形三邊、三角中已知什么，求什么，這些是解決問題的思維基礎，用正、余弦定理直接解題，提醒一定要牢記正、余弦定理，熟練解題.

二、邊角互化

例4（2017年全國2卷·理）ΔABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c ，已知sin（A+C）=8sin2B2.

（1）求cosB

（2）若a+c=6 ， ΔABC面積為2，求b.

解析 （1）由題設及A+B+C=π得sinB=8sin2π2，故sinB=4（1-cosB）.

上式兩邊平方，整理得 17cos2B-32cosB+15=0，解得 cosB=1（舍去），cosB=1517.

（2）由cosB=1517得sinB=817，故SΔABC=12acsinB=417ac.又SΔABC=2，則ac=172.

由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accosB=a+c2-2ac1+cosB=36-2×172×1+1517=4.

所以b=2.

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的應用，都用到了邊角互化以及降冪公式.

解題策略 在三角形中，解決含邊角關(guān)系的問題時，常運用正弦定理進行邊角互化，然后利用三角知識去解決，要注意體會其中的轉(zhuǎn)化與化歸思想的應用。

三、整體求解

例5（2017年全國1卷·理）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為a23sinA

（1）求sinBsinC；

（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周長.

解析（1）由題設得12acsinB=a23sinA，即12csinB=a3sinA.

由正弦定理得12sinCsinB=sinA3sinA.故sinBsinC=23.

（2）由題設及（1）得cosBcosC-sinBsinC=-12，，即cos（B+C）=-12.

所以B+C=2π3，故A=π3.由題設得12bcsinA=a23sinA，即bc=8.

由余弦定理得b2+c2-bc=9，即（b+c）2-3bc=9，得b+c=33.

故△ABC的周長為3+33.

點評 本題主要考查三角函數(shù)及其變換、三角形面積公式、正弦和余弦定理等基礎知識，同時考查運算求解能力.

解題策略 要很好的掌握正、余弦定理的應用條件及靈活變形，方能使問題簡捷解答.在三角恒等變換過程中，準確地記憶公式，適當?shù)刈儞Q式子，有效地選取公式是解決問題的關(guān)鍵.

四、求三角形面積

例6（2017年全國3卷·理）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinA+3cosA=0，a=27，b=2.

（1）求c；

（2）設D為BC邊上一點，且AD⊥ AC，求△ABD的面積.

解析 （1）由已知得 tanA=-3，所以A=2π3.

在 △ABC中，由余弦定理得 28=4+c2-4ccos2π3，即c2+2c-24=0，解得c=-6（舍去），c=4.

（2）有題設可得∠CAD=π2，所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=π6.

故△ABD面積與△ACD面積的比值為12AB·AD·sinπ612AC·AD=1

又△ABC的面積為12×4×2sin∠BAC=23，所以ΔABD的面積為3.

點評 本題考查正弦、余弦定理在解三角形中的應用，主要通過正弦、余弦定理建立方程來求解.

解題策略 要很好的掌握正、余弦定理的應用條件及靈活變形，方能使問題簡捷解答.三角形面積公式的應用原則：（1）對于面積公式S=12absinC=12acsinB=12bcsinA，一般是已知哪一個角就使用含哪個角的公式.（2）與面積有關(guān)的問題，一般要利用正、余弦定理進行邊和角的互化.

總之，高考中解三角形問題的常考題型一般是求三角形邊的問題、角的問題、面積的問題以及與三角形有關(guān)的實際應用問題，當然還涉及到求邊、角、面積的最值問題，只要掌握好上述策略，在高考中求解相關(guān)的問題就會得心應手.

（作者單位：甘肅省鎮(zhèn)原縣平泉中學 744500）endprint