高中解析幾何有效學習的探析

陳子彬

摘要：高中解析幾何是高中階段數學學習的重要內容和難點之一，探究有效學習的方法十分必要。基于此，本文試以高中解析幾何學習的難點作為切入點，分析進行學習的有效方法，并結合例題給出相關方法的具體使用方式，旨在通過分析為高中生后續解析幾何的學習提供一定幫助。

關鍵詞：高中解析幾何；數形結合；基本公式

前言：高中解析幾何是高中學習公認的難點之一，具體來說，其難點包括知識的銜接性、內容的抽象性等，針對這些情況，筆者與同學進行了交流，并請教了教師、查閱了相關資料，發現高中解析幾何的學習雖然存在難度，但依然有跡可循，掌握方法可以更好的完成學習，比如聯想學習法、數形結合法等，后文對相關方法進行具體介紹和分析。

一、高中解析幾何學習的難點

1.知識的銜接性 高中解析幾何本質上看是初中幾何的一種延伸，了解并掌握知識的銜接性是有效學習的基本要求，但由于幾何知識之間存在明顯的獨立性，高中生在學習時，可能難以將相關知識連接起來，造成學習困難。比如初中三角函數中的勾股定理，其在解析幾何相關學習和解題中非常常見，是應用最廣泛的幾何學定理之一，又比如“等邊對等角”理論，其也是高中解析幾何學習的重要內容之一。但在實際學習中，由于高中解析幾何往往是融合多項知識內容的，高中生難以將例題、習題和固有知識連接起來，學習難度因此增加。

2.內容的抽象性 高中解析幾何和其他階段的數學學習、理科類知識學習具有相同的特色，即抽象特征明顯，而且例題選取的往往是理想環境，規律總結也是在固定模式下進行，生活中缺少實例，這導致部分聯想能力較差的學生難以有效進行學習。比如橢圓相關知識，在研究橢圓運行軌跡時，所選橢圓必然是完全規律，且不受其他因素的干擾，但現實生活中，這種橢圓幾乎不會存在，高中生學習時，沒有參照，只能依靠例題生硬的理解，學習效果難免受到影響。又比如圓錐形的學習，要分析圓錐的高度，現實生活中即便存在理想圓錐體，高度的確定也非常難，不能作為有效參照，這也帶來了學習方面的困難。內容的抽象性是高中解析幾何學習的主要難點。

二、高中解析幾何學習的有效方法

1.熟練掌握所有基本公式、概念 高中解析幾何學習的基本要求是能夠熟練的掌握基本公式和概念，比如前文所說的橢圓，在進行當前知識學習、拓展以及后續學習時，公式屬于基礎。橢圓的面積公式為：S=πab.公式中a，b分別是橢圓的長半軸、短半軸的長。由于高中解析幾何知識、習題往往融合了多項內容，牢固的掌握基本公式和概念，才能有效理解題目知識包含的內容，并進行學習和解題。需要注意的是，公式、概念既包括當前所學也包括以往初中甚至小學的幾何內容，比如基本的三角形的三條高、梯形面積等，將新舊知識融合，才能更好的進行后續學習[1]。

2.嘗試聯想學習 聯想學習在抽象知識學習中十分重要，尤其是高中解析幾何的學習，在理想參照較少的情況下，學會聯想對于學習非常必要。橢圓面積的計算中，現實生活缺少理想目標，但可以將一些類似的現象聯想為橢圓，比如冥王星圍繞太陽公轉的軌道，忽略持續前進的距離因素，當冥王星圍繞太陽完成一次公轉后，其基本軌跡就是一個橢圓，而且其運動帶有明顯的規律，在嘗試進行面積運算學習時，可以作為較理想的聯想對象。此外，聯想學習的另一個含義是聯想此前學習的知識，用于當前高中解析幾何學習，比如第一節中提到的勾股定理。勾股定理可以直接應用于直角三角形的斜邊求值，基本原理為直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方之和。我國古代稱直角三角形為勾股形，直角邊中較小者為勾，另一長直角邊為股，斜邊為弦，所以稱這個定理為勾股定理。在高中解析幾何中，兩條以上直線交叉的情況下，就有可能出現直角三角形，進行學習時，可以將勾股定理知識融入其中，與當前知識融合，從而快速的吸收、消化新知識。

3.數形結合 數形結合是幾何學基本的學習方法，小學、初中、高中幾何學習中，高中生往往都能聽到教師強調：“看求證、畫圖形，缺了已知可不行”，這句通俗教導的意思就是進行幾何學習和解題時要結合已知數字內容，并構畫、理解圖形，進行學習和解題，也即數形結合法[2]。如題目：

實數x、y滿足（x-1）2+（y+2）2=5，求S=x-2y的最大值和最小值。根據已知條件和圖形，可知方程（x-1）2+（y+2）2=5以點（1，-2）為圓心，圓的半徑為5，根據S=x-2y，得到直線y=12x-12s，-12s，是直線在y軸上的截距。直角坐標系上，可以畫出曲線的位置如圖1所示。結合圖形，-12s取最小值時，S可取最大值，直線與圓相切，原點到直線的距離即為圓的半徑，以公式表達為-|12+2-12S|54s：，進一步計算可知S的最大值為10，最小值為0。

4.隔離分析法 隔離分析法是一種聯合方法，如前文所說，高中解析幾何常常涉及到多項知識，學習、解題時如果無法理清知識內容，可能出現學習困難。比如上一小節中的題目，涉及到圓、直線、相切、平行、直徑甚至函數、集合的部分知識，只看題目，難以進行解答，學習也就無從談起。應用隔離分析法是指對整個題目進行解析，分析所涵蓋的知識內容，提煉已知條件，之后結合題目代入分析、提煉所得，進行解題。上一小節的題目中，首先可以分析相關知識內容，包括圓、直線、相切等，之后根據已知條件了解直線與圓相切，算出直線到y軸的截距，得出結論原點到直線的距離與圓的半徑相當，且二者存在相切的基本關系，將這些內容代入問題中，即可以得出結果。

總結：通過分析高中解析幾何學習的難點和有效方法，了解了相關基本內容。目前來看，高中解析幾何學習的難點包括難以進行知識銜接、內容較為抽象兩個方面。而學習的有效方法包括熟練掌握所有基本公式和概念、嘗試聯想學習、數形結合、隔離分析法等。在高中生的后續學習中，采用上述方法能夠使高中解析幾何的學習難度相對降低，更好、更快的掌握相關知識。

參考文獻：

[1]曹一鳴，賈思雨. 高中平面解析幾何課程設置的國際比較——基于12個國家高中數學課程標準的研究[J]. 外國中小學教育，2015，（10）：58-65.

[2]張藝璇. 關于高中數學幾何解題技巧之“數”“形”結合策略[J]. 亞太教育，2015，（34）：73.

（作者單位：湖南省長沙市南雅中學1607班 410000）