從數學核心知識到數學核心價值教學轉型研究

雷世清

摘要：數學核心知識是數學核心價值的主要載體。數學學科的核心價值研究，若能夠與數學核心知識的教學有機融合到一起，那么教學轉型必定能夠起到事半功倍的效果.本文結合《數列求和》復習模塊的教學實踐，兼談從數學核心知識到數學核心價值教學轉型研究的一些思考.

關鍵詞：核心知識 ；核心價值； 教學轉型 ；PBL教學模式

案例背景

上海教育出版書出版高二年級第一學期數學（試用本）第7章《數列與數學歸納法》第一節內容是《數列》.學生在學習這一節內容之后，在運用等差數列、等比數列的求和公式時運算經常出錯。于是我嘗試改編課本和練習冊相關問題，運用了PBL（Problem-based Learning 即基于問題的學習）教學模式，安排了一節《數列求和》復習模塊課.

案例主題

1.熟練掌握等差數列、等比數列的求和公式.

2.掌握一些既非等差數列又非等比數列的數列求和的常見方法，能熟練運用這些方法解決數列求和問題，體驗等價轉化與化歸等數學思想的運用.

3.學會觀察、思考、表達，形成分析問題與解決問題的能力和探究創新意識.

教學方法與手段引導啟發 自主探究 練、講、議、思相結合

案例敘述

片段一 復習與回顧

1. 等差數列{an}的前n項和公式為 Sn=____________或Sn=_____________.

等比數列{an}的前n項和公式為 Sn=_______________.

2.求和：（1）1+3+5+···+（2n-1）=_________________ （n∈N*）；

（改編 教材第30頁 例1、教材第34頁 練習7.5 第1（1）題）

（2）已知a≠0，n∈N*，則1+a+a2+a3+…+an= _______________.

（改編 教材第34頁 練習7.5 第1（2）題、練習冊 第12頁 習題7.4 A組 第1（1）題）

3.已知數列{an}前項的和Sn，則 an=______________.

思考：已知數列{an}的通項公式，如何求該數列前n項和Sn=？

設計意圖：溫故知新；考查數列項數的確定及等比數列前n項求和公式注意事項.

活動要求：學生課前完成，課上相互評價.

第1、2（1）、3題，學生做得很好.第2（2）題學生討論熱烈，最后達成了共識.

T：誰小結一下.

S：要熟練運用等差數列和等比數列的前n項的和的公式.若等比數列的公比含參數，看一看是否需要討論哦.

T：小結得很好.數列求和在高中數學中占有很重要的地位.本節課我們來研究既非等差數列又非等比數列的數列的求和問題.（板書課題：數列求和）

判斷二 探究活動

例1 求和：（1）112+214+318+…+（n+12n）（n∈N*）；

（改編 練習冊 第15頁 習題7.6 A組 第3題）

（2）9+99+999+···+（10n-1）（n∈N*）.

設計意圖：先化簡通項公式，再分組求和（數列求和的基本方法）.

T：請問這個數列是等差或等比數列嗎？你是怎么求得的？分組板演、交流.

第1小組代表：上黑板板演

原式=（1+12）+（2+14）+（3+18）+···+（n+12n）

=（1+2+3+···+n）+（12+14+18+···+12n）

=n（1+n）2+12[（1-（12）n]1-12=n22+n2+1-12n

然后匯報：將原數列求和轉化為一個等差數列和一個等比數列的求和.

第2小組代表：上黑板板演

原式=（101-1）+（102-1）+（103-1）+···+（10n-1）

=（10+102+103+···+10n）-（1+1+1+···+1n個1）=10（1-10n）1-10-n=10n+19-109-n.

然后匯報：將原數列求和轉化為一個等比數列喝一個常數列的求和..

T：投影其它組探究情況.

T：剛才從各小組探究情況都說明：若一個數列既非等差數列又非等比數列，但它是由一個等差數列和一個等比數列對應項相加所得的新數列.這種把通項公式拆成兩個或兩個以上的等差或等比數列的求和的方法叫做分組求和法（板書）.這種方法是拆項法的一種，運用了化歸與轉化的思想方法.

例2 求和：（1） 11×2+12×3+13×4+···+1n（n+1）（n∈N*）；

（改編 練習冊第15頁 7.6 A組 第3題）

（2）11×3+12×4+13×5+···+1n（n+2）（n∈N*）.

（改編 教材第35頁 例2）

設計意圖：用裂項相消法求數列的前n項的和（常用數列求和方法之一）.

T；請分組討論、板演、交流.

學生開始思考，有的低著頭在算、有的竊竊交流、有的學生在沉思……，很快學生討論聲四起.

第3小組代表：上黑板板演

（1）解：因為 1n（n+1）=1n-1n+1，

所以 原式=（1-12）+（12-13）+（13-14）+···+（1n-1n+1）=1-1n+1=nn+1.

然后匯報交流.

小組4代表：上黑板板演

（2）解：因為 1n（n+2）=12（1n-1n+2），

所以 原式=12[（1-13）+（12-14）+（13-15）+（14-16）···+（1n-1n+2）]

=12（1+12-1n+1-1n+2）=12（32-1n+1-1n+2）=34-12（n+1）-12（n+2）.

然后匯報交流.

T：投影其它組探究情況.

全體學生聚精會神聽著、看著……

T：剛才從各小組探究情況看，求數列求和前，先根據通項的結構化簡再求和.我們把上述求和方法形象稱之為裂項相消法（邊講邊板書），這種方法也是拆項法的一種.

例3若數列an的前n項和為Sn，且an=2n-1，1≤n≤3，

2n-7，n≥4，n∈N ，求Sn.

設計意圖：用分段求和方法求數列的前n項的和（也是常用數列求和方法之一）.

活動要求：各小組先合作探究，然后搶答.若搶答錯誤，再進行下一輪搶答.

學生們積極參與探究活動中……

S1：Sn=（1+2+4）+[1+3+5+···+（2n-7）]

=7+（n-3）[1+（2n-7）]2=n2-6n+16.

T：同學們，上述回答對嗎？

S：不完全對.

T：繼續搶答.

S2：當1≤n≤3時，Sn=1-2n1-2=2n-1，當n≥4時，Sn=（1+2+4）+[1+3+5+···+（2n-7）]

=7+（n-3）[1+（2n-7）]2=n2-6n+16，

所以 Sn=2n-1，1≤n≤3，

n2-6n+16，n≥4， n∈N.

T：未作評判.問：為什么這樣分類？

S2：由題意知 該數列的前三項是以1為首項，2為公比的等比數列，它從第四項起為以1為首項，2為公差的等差數列，所以這么分類.

其他學生：鼓掌.

T：這位同學回答得很好！這種數列求和方法稱之為——分段求和（同學集體回答）.

片段三 鞏固與反思

求數列1，1+2，1+2+4，…， 1+2+22+···+2n-1，…的前n項和Sn.

學生都認真作答，我不斷巡視著，并不時與學生對話、交流。

片段四 學習小結

T：本節課你都掌握了哪些數列求和的方法？數列求和涉及哪些數學思想方法？

S：（1）利用公式求和：利用等差、等比數列求和公式求和是數列求和的最基本最重要的方法.

（2）分組法求和：將數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然后分別求和.

（3）裂項法求和：將數列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的.

（4）分段求和：就n進行分類討論再求和.

另外，在數列求和過程中，運用了化歸與轉化、分類討論等數學思想方法.

T：小結得很精彩.（補充）其中（2）、（3）的方法統稱為拆項法.同學們，不管用什么方法求和，方法的實質都是把既非等差數列又非等比數列的數列轉化為等差數列或等比數列的求和問題.

案例反思

本節課運用了PBL（Problem-based Learning 即基于問題的學習）教學模式進行了從數學核心知識到數學核心價值教學轉型研究。本節課整合資源，改編教材和練習冊相關問題，學生在參與一系列探究活動過程中形成了一定的歸納總結能力、探究能力和創新意識.本節課突出了化歸與轉化、分類討論等數學思想方法的運用，突破了教學難點，教學目標達成度高.

（作者單位：上海市嘉定區教師進修學院 201800 ）