初中數學例題“二次開發”的深化研究

摘 要：本文圍繞初中數學例題的“二次開發”進行深化研究，主要從以下幾個方面進行分析：研究例題的“二次開發”、在例題的“二次開發”中培養學生分析問題和解決問題的能力、在例題的“二次開發”中滲透數學的思想、在例題的“二次開發”中傳授數學解題方法、提升學生數學學科的核心素養。

關鍵詞：例題；二次開發；深化研究；解題方法；數學思想；數學素養

初中數學教學有相當一部分是有關例題的教學，重視各種例題的教學，有助于學生掌握數學知識，形成技能，也有助于學生提高各種能力，形成素養。教材中的絕大部分例題是編者經過精挑細選安排的，它們緊扣教學目標，能有效地促進學生的數學學習，而部分例題我們在教學時若還是照本宣科，那么效果就會大打折扣，因此需對教材中的那些例題作出合理“開發”。例題的“二次開發”，主要是指依據課程標準對教材中的例題進行適度增刪，調整和加工，從而使它更好地適應具體的教育教學情景和學生的學習需求。而例題‘二次開發的深化研究則是在例題“二次開發”的基礎上，圍繞數學教學改革的導向（包括知識導向、能力導向和素養導向）展開的，從“研究例題的‘二次開發”、“提升學生數學學科的核心素養”等幾個方面進行分析。下面就談談近幾年來我們在“例題‘二次開發的深化研究”中的一些做法和體會，希望得到讀者的指點。

一、 研究“例題的‘二次開發策略”

備課時，對于要用的例題，我們應該認真分析題目，在深刻理解題意的基礎上，深層次地挖掘題目，對它進行二次開發。經過多年研究，我們總結出了以下主要的幾種對例題進行二次開發的方法：①“開發”例題中的數字；②“開發”例題的背景；③“開發”例題的題設和結論；④拓展例題的知識范圍；⑤“開發”例題的解題思路；⑥“開發”例題的教學方法與教學策略；⑦“開發”例題的圖形；⑧創造全新的例題等。教師將例題進行“二次開發”，其實就是將例題進行整合優化，最后消化吸收，這樣，教師在進行例題教學時就會覺得得心應手，因此自信心也會倍增。而學生在例題的學習中也能有效地將例題內化為知識、能力與素養。

二、 在例題的“二次開發”中培養學生分析問題和解決問題的能力

數學例題、習題的數量數不勝數，我們不可能都做過，即使做過也不可能都記得住，要想真正會解題，培養學生綜合運用所學知識分析問題和解決問題的能力是關鍵。因此教師應該給學生充裕的時間研讀例題、思考問題、尋找解題思路。我們可將例題進行分類，如計算型題目、作圖類題目、證明型題目等，接著我們要像醫生治病一樣，需對癥下藥，不同類題目一般采用不同解法?，F在就以“證明等腰三角形兩底角相等”為例加以說明。

我們先將文字語言“翻譯”成數學語言如下：

已知：在△ABC中，AB=AC。

求證：∠B=∠C。

分析：如果要證明兩角相等，常用的方法是先證兩三角形全等、兩三角形相似、……，然后得到兩角相等。本題要證∠B=∠C，能否證這兩個角所在的兩個三角形全等呢？這里沒有兩個三角形，怎么辦呢？想到構造三角形，引出過A點作BC邊上的高（或BC邊上的中線或∠BAC的角平分線），再去證明△ABD≌△ACD，即可得到AB=AC。

證完了本題，對本題進行“二次開發”（拓展例題的解題思路），指出證明分直接證明和間接證明兩種，直接證明又分綜合法和分析法兩種，本題用的是分析法，分析法往往從數學例題的待證結論或所求問題出發，一步步往“須知”摸索下去，最后達到題目的已知條件，分析時往往可用“”加以說明。綜合法與分析法剛好相反，用綜合法解題時是從數學題的已知條件出發，經過逐步邏輯推理，最后達到待證的結論或求出需求的問題，綜合法是由“∵”和“∴”等步驟組成的。其次是間接證明，間接證明有兩種思路：反證法和舉反例的方法，并舉些相應的例子加以說明，如要說明“若ac=bc，則a=b”是假命題，我們只要舉例“a=5，b=4，c=0”，反駁這個命題就行了。若教師都用這種態度對待例題，時間久了，在潛移默化中學生分析問題和解決問題的能力自然而然會得到提高。

三、 在例題的“二次開發”中滲透數學的思想

根據大綱精神，初中數學的基本思想主要指轉化、分類與整合、數形結合等，下面以分類討論數學思想為例，談談如何在例題“二次開發”的教學中滲透數學思想。在解題時對于一些比較復雜的對象，為了研究的需要，往往要根據對象的特點將對象分成不同的部分進行分析，或將對象區分為不同種類進行研究，這就是分類討論。通過研究不同部分或不同種類對象的性質，然后進行整合，從而認識整體的性質。在分類討論中要注意分類標準的同一性，數學教學中運用分類討論思想，有利于培養學生思維的嚴密性，學生經過歸納、總結所學的數學知識，能使知識更具條理化、系統化，繼而形成一個完整的知識結構鏈條。例如，在分析例題“解方程”時，可分兩種情況進行討論：①當x≥0時，原方程化為，解得：（不合題意，舍去）；②當x<0時，原方程化為，解得：（不合題意，舍去），最后進行整合，∴原方程的根是。在講解完這道例題后，我們對例題進行 “二次開發”，即“拓展例題的知識范圍”，引出：初中數學需要分類討論的問題很多，主要有以下幾個方面：①解含字母參數或絕對值符號的方程、不等式時，由于這些參數的取值不同或要去掉絕對值符號就有不同的結果；②討論二次函數中二次項系數與圖象的開口方向、等腰三角形的例題、圓周角定理的證明等；③有的數學問題，雖結論唯一但導致這結論的前提不盡相同；……

四、 在例題的“二次開發”中傳授數學解題方法

數學解題方法則是指解出試題的方法，在解題中歸納、積累一些常用的數學解題方法，對學好數學是可以起到事半功倍的效果，數學的解題方法很多，不同知識內容要選用不同方法，如求函數解析式時可根據所給條件選用列解析式法或待定系數法，解二元一次方程組時可根據式子特點選用加減消元法或代入消元法，……下面以換元法為例，談談如何在例題“二次開發”的教學中傳授數學解題方法。例：已知實數a、b滿足（a2+b2）2-2（a2+b2）=8，求a2+b2的值。分析：通過觀察可發現，式子a2+b2重復出現，如果把式子a2+b2看成一個整體，設y=a2+b2，則原式化為y2-2y=8，即（y-4）（y+2）=0，可得y-4=0或y+2=0，解得，∵a2+b2>0，∴a2+b2=4。故答案為4。緊接著，我們對例題進行 “二次開發”，改變例題中的“所需換的元”，如：解方程，可設，因此，原方程可化為……最后總結傳授“換元”這種數學解題方法。說明換元的實質是進行“轉化”，關鍵是把某個重復出現的整體看成另一個未知數，即“設元”，這樣做的理論依據是等量代換，目的是化繁為簡，將難處理的問題變得容易處理，將不能解決的問題轉化為能解決的問題。在研究方程、不等式等問題時，通過引進新的變量，它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式，可以將陌生的形式變為熟悉的形式，把復雜的計算和推理簡化，因而換元法的應用極廣。endprint

五、 培養學生數學學科的核心素養

學科教學過程就是教和學展開的過程，學科能力和素養的培養只有在相應的學科活動中才能形成和發展。數學學科的核心素養是通過提高學生的相關能力來實現的，如：數學的抽象思維能力、邏輯推理能力、數學建模能力、數學運算能力、數據的分析能力等。如何通過例題的“二次開發”提升學生數學學科的核心素養呢？學科核心素養的提升是以學科知識為載體，以學科活動為路徑，以培養他們的相應的推理等能力達到的，通過自己多年的實踐，現以“培養學生的抽象思維能力”為例說明具體做法。規則以言語命題（或句子）來表達，它是公式、定律、法則等的總稱，因此它的概念更抽象，在數學解題中有意識的培養學生的抽象思維能力就顯得極為重要。為幫助學生正確掌握規則，克服由于規則的抽象而導致學生學習的困難，我采取“二次開發例題中的數字”的方法，用大量的實例，讓學生從特殊的實例中尋找出一般規律，概括出一般抽象結論。例如，數學教師在上合并同類項這一課時，由特例2a+3a，5a+6a或7b+2b等，尋找、總結出合并同類項的一般規律，并形成合并同類項的法則。

數學思想方法常隱含在數學的表層知識之中，教師應該挖掘表層知識中的數學思想方法，在例題的“二次開發”中進行滲透，這些思想和方法之間是相互影響、互相促進的，在數學教學中要有機地結合起來。素養是知識、能力、態度與情境間的因應互動體系，基于核心素養的要求，數學教學要求變教堂為學堂，培養和依靠學生的獨立學習能力是教學促進學生核心素養發展的根本體現。教師還要有“教從屬于學” 的教學觀，學生是教學活動中的主體，學習是教學活動的本位所在，因此教師要在引導學生學，在促進學生學上下功夫，教學生學會思考、學會學習，以便提高教與學的效果和質量。

參考文獻：

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