高中數學函數單調性的教學探討

譚春

【摘 要】本文針對高中數學函數單調性的教學問題進行探討，提出正確理解函數的定義域、掌握函數單調性的界定原則、建立導數與函數圖象的關系、分清單調函數的極值與最值的關系四種策略，以更好地理解和掌握函數的單調性。

【關鍵詞】高中數學 函數單調性 定義域 極值 最值

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2017）09B-0134-02

在高中教學當中，函數單調性作為重要的教學部分，需要學生掌握其中的基本原理和概念，能夠通過求導作圖來表示函數的增減性。函數的單調性主要包括：對函數增減區間界定、求解函數的極值、了解和求解最值問題、掌握函數圖形和求導。這需要教師創新教學策略，讓學生掌握函數單調性的相關知識點，促進學生解題能力得到更好的提升。

一、正確理解函數的定義域

在講解函數單調區間時，學生需要清楚了解函數的定義域，明確函數在哪些區間是有意義的。如果對函數定義域理解不夠透徹，那么就會直接導致學生在求解函數單調性的過程中出現錯誤，影響判斷函數的單調性。

在講解函數的定義域時，筆者首先針對 x 取值范圍列出幾個有代表性的函數，然后來詢問學生：“這些函數的定義域都是（-∞，+∞）嗎？如果不是請說明。”這個時候，學生很快得出不同函數有不同的定義范圍，不都是定義在實數 R 集合內。此時，筆者會給學生講解道：“函數的定義域包括兩種形式，第一種為題目直接給出定義域，讓學生求解函數的單調區間。另一種為題目沒有給定區間，但是函數自身隱藏著某種要求，例如 y=ln（x2+5x-6）函數。”然后讓學生求解 y=ln（x2+5x-6）這個函數的定義域。為了減輕學生的理解困難，筆者提醒學生：“這個函數是由哪兩個函數復合而成呢？”學生通過分析判斷，得出該函數可以轉化為 y=lnx1 和 y=x2+5x-6 兩個函數，也就是說，原函數是由兩個函數構成的。通過判定 x1>0 來等價于 x2+5x-6>0，從而得出函數 x 的定義域為（-∞，-6）∪（1，+∞）。這時，筆者對學生要求道：“求解函數單調區間，需要做的是先對其定義域進行求解，只有這樣才能保證后續解題的正確性。”

二、全面掌握函數單調性的界定原則

當下，很多學生對單調性基本概念不夠重視，沒有深入去理解其中的基本內涵，導致學生在做題過程中出現較多的問題。這就需要教師針對函數單調性的基本概念進行講解，讓學生掌握其中的重要原理。

在確定函數單調性時，筆者讓學生摸清函數單調性的界定原則，為后續求解奠定堅實的基礎。函數單調性是指在函數定義的區間內，有任意的兩個變量，其中 x1f（x2），則該函數為減函數。接著，筆者會針對該定義的關鍵內容進行提問：“請說明該定義中，需要著重掌握的部分。”學生通過重新審視函數定義得出：“定義域內一定存在任意 x1 和 x2。”這時，筆者會給學生列舉實際問題來加深對概念的理解。例如：

函數 實數集 R 上為增函數嗎？

這時學生通過對原函數進行求導，得出 f′（x）=3x-4，從而會認為 是增函數。此時，筆者會引導學生道：“在斷定函數單調性時，首先要明確其定義域。”這時學生將函數 的定義域表示為（-∞，0）∪（0，+∞）。筆者接著問學生：“該函數在 x=0 處沒有定義，與單調函數中存在任意 x1，x2 不符，所以該函數在實數 R 上不為增函數。”接著，筆者會問學生：“如果要求解該函數的單調區間，那么應該怎樣去確定呢？”學生按照函數單調區間的求解步驟，通過定義域和求導來求得該函數增區間為（-∞，0）和（0，+∞），在各自區間內函數為增函數。筆者此時給學生總結道：“只有充分掌握函數單調區間的基本概念，才能按照正確的步驟將函數單調性求解出來，有效解決問題。”

想要求解函數單調區間，首先要把它的定義理解清楚，按照規范的要求來求解問題。這樣，學生才能真正掌握函數單調性質，為后來的學習打下堅實的基礎。

三、建立導數與函數圖象的關系，便于直觀確定函數單調性

畫好函數的圖象對掌握單調性有很大幫助，它可以讓學生直觀、清晰地確定函數的增減性，從而更好地得出函數增減區間。這就需要建立函數圖象與導數之間的聯系，通過求導來得出函數圖象。

在對函數單調性進行教學時，筆者首先會跟學生一起復習基本函數的圖象。例如，筆者會問學生：“三角函數圖象都是什么類型呢？”此時學生立刻得出：“正弦函數圖象為定義在實數 R 上，圖象的波峰出現在 ； 余弦函數圖象的波峰出現在 x=kπ 處；正切函數圖象關于 kπ 對稱，y 取值范圍為實數 R。”在這個時候，筆者會問學生：“f′（x）的大小與原函數增減性有什么關系呢？”學生針對 基本概念得出，f′（x）表示為原函數的切線，若存在 f′（x）>0 則該函數為增函數，反之則表示為減函數。在這個時候，筆者讓學生做他們熟悉的二次函數的圖象。這時很多學生都通過判定二次函數的 a 值、與 x 軸的交點大致畫出函數圖象。在這個時候，筆者會提高畫函數圖象的難度，讓學生去分析三次或者高次冪函數的圖象。例如：

已知函數 f（x）=x4-x3+2x2-8，請畫出這個函數的圖象。

因為學生沒有畫過 4 次函數圖象，所以不知道怎樣去確定該函數的形狀。這個時候，筆者會給學生提示道：“求高次冪函數的單調區間時，首要需要做的是對其原函數進行求導降冪，通過轉化成熟悉的函數來間接求解其單調性。”此時，-學生通過一次求導得出 f′（x）=4x3-3x2+4x。但是，學生對三次冪函數仍舊不夠了解，需要對其進行二次求導，得出=12x2-6x+4。在這個時候，學生通過對二次導數分析來間接找到原函數的增減性，從而推導出原函數的增減區間。這時，學生對函數圖象和導數就有了更明確的認識，理解如何結合導數和圖象來界定函數的單調區間，進而為求函數的增區間或減區間提供較大的方便。

確定函數的單調區間，就需要學生對函數的導數和圖象有清晰的認識，明確導數與函數的增減性是對應的，從而快速解決函數問題。

四、清晰劃分單調函數極值與最值關系

學生在確定函數單調性后，往往要針對函數的增減性來求解極值和最值問題。這時，很多學生在這個上面存在較多問題，容易混淆這兩個基本概念。這就需要教師針對函數極值和最值對學生進行重點教學，讓學生深入理解兩者的異同點。

函數極值與最值問題，是單調函數常常考查的重要內容。很多學生對兩者的區別不是特別清楚，因此筆者會結合具體案例以便學生理解。例如：

函數 y=x2，在區間[-1，1]和（-1，1）中是否均存在極值和最值呢？

這時，學生分析判斷后得出，在區間[-1，1]中存在極小值、最小值和最大值，沒有極大值；而在（-1，1）中只存在極小值、最小值。在這個時候。筆者給學生總結道：“在求解最大值和最小值時，要觀察函數所在的區間，并一定要注意它的開閉性。”接著，筆者會問學生：“極大、極小值等同于最大、最小值嗎？”有的學生認為極值與最值是相等的，有的學生認為極值與最值不相等。在這個時候，筆者會給學生出兩道函數題，讓學生去求極大值和極小值。例如：

函數 y=x3-5x2+6，在區間[0，]和[-1，6]中，求解函數的極值和最值。

此時，學生通過求解發現，在第一個區間內函數的極值與最值是相等的，而在第二個區間內函數的極大值在 x=6 處。這時，筆者讓學生去分析極值與最值的步驟。學生通過上述題目得出，極值出現在 f'（x）=0 處，而最值需要統籌考慮極值和區間兩邊的值。這時，學生對函數單調區間有更為明確的認識，理解極值與最值的基本內涵。

函數單調性在教學中占據重要地位，需要學生掌握函數單調性的求解步驟，按照規范的要求來求解。這就需要教師在教學中，從函數定義域、單調性的基本概念、函數圖象和導數的聯系、區分最值和極值關系入手，講清函數單調性的基本知識，使學生全面理解與掌握，從而提高學生的解題能力。

（責編 盧建龍）