三角函數求解中的思維障礙

■廣東省惠州惠陽一中實驗學校 楊寧平

三角函數及解三角形知識中的公式多、概念廣,解題方法與技巧多樣,所以同學們經常會出現遺漏條件、忽視范圍以及忘記分類等思維障礙,本文就其過程展示給大家,希望對同學們的學習和復習能有所幫助。

1.圖像變換中忽略變換順序或缺少“整體變量觀念”。

錯解分析:先周期后相位或先相位后周期,忽視變換順序,或缺少整體變量的觀念。

總結:求三角函數的值域讓定義域先行且隱含有界性,同時把握三角公式中的二次關系式可換元化歸為一次函數或二次函數,通過研究函數在閉區間上的單調性求解。

2.三角形中忽視“大邊對大角、大角對大邊”的制約。在△ABC中,角A、B、C的對邊分別為a,b,c,且4bsinA=7a。若a,b,c成等差數列,且公差大于0,求cosA-cosC的值。

錯解分析:錯解中忽略了a＜b＜c對角A,B,C的限制,從而導致產生增解。

總結:注意對“△ABC中,a＞b?A＞B?sinA＞sinB”的理解和應用,可以幫助我們縮小角的范圍,正確地進行取舍。本題易忽視“a,b,c成等差數列,且公差大于0”對角B的范圍的限制,導致思維受阻。

3.忽視題設條件中對角的制約關系。

在△ABC中,3sinA+4cosB=6,3cosA+4sinB=1,則∠C的大小為( )。

總結:解三角形問題中的題設條件常隱含角與角之間的制約關系,需要充分挖掘和應用,如此題條件cos比較隱蔽,不易發現,忽略常常出錯。

4.忽視解三角形漏解或增解的檢驗。在△ABC中,B=30°,AB=23,AC=2,求△ABC的面積。

總結:已知兩邊和其中一邊的對角,求其他的邊和角,三角形解的情況可能是無解或一解或兩解,要依據三角形中大邊對大角進行適當的取舍,也可通過作出圖形判斷三角形解的個數。